一类分数阶微分方程的反周期边值问题

左佳斌，贠永震

(1. 河海大学 理学院，江苏 南京 210098； 2. 吉林工程技术师范学院 应用理学院，吉林 长春 130052)

在近十几年里，分数阶微分方程在多孔介质、流体力学、自动控制和电动力学等科学领域得到广泛应用，分数阶微分方程理论得到快速发展[1-19]。在对分数阶微分方程理论研究的过程中，其边值问题作为重要的研究方向，很多学者对此作了研究，得到大量的研究结果[12-19]。 反周期是物理学中一种重要的现象，对于一个变化的物理过程，可以转化为一个反周期的数学模型。对于分数阶微分方程反周期边值问题，现在已经有学者作了研究，得到了一些研究结果[12-14,20-21]。文献[12]研究了下面一类分数阶微分方程反周期边值问题解的存在性

(1)

式中CDq为q阶Caputo分数阶微分，f为给定的连续函数。文献[12]利用一些不动点定理得到该边值问题(1)解的存在性结论。

在血液流动、流变学和材料科学等许多科学领域，出现了带有p-Laplace算子的分数阶微分方程的数学模型，因此，对于带有p-Laplace算子的分数阶微分方程边值问题解的存在性，很多学者进行了研究并取得大量研究结果[13-14,17-18]。文献[17]研究了下面一类带有p-Laplace算子的分数阶微分方程边值问题解的存在性

(2)

式中：ai≠1，i=1, 2, 3；f∈C([0,T]×R,R)；x(t)∈C2([0, 1]，R)。利用Banach压缩映像原理，文献[17]得到该边值问题(2)在一定条件下解的存在性结论；在文献[12]中，作者研究了不具有p-Laplace算子的分数阶微分方程反周期边值问题解的存在性。需要说明的是文献[17]中的边值条件不是反周期形式。目前对具有p-Laplace算子的分数阶微分方程反周期边值问题解的存在性的研究不多[13-14,20-21]。受上述文献启发，本文考虑下面一类带有p-Laplace算子的非线性分数阶微分方程反周期边值问题解的存在性

(3)

1 相关定义及引理

第1章给出一些定义及相关引理，见文献[1,17,19]。

定义1[1]令α>0，函数u:(0, +∞)→R的Riemann-Liouville分数阶积分定义为

定义2[1]令α>0，函数u:(0, +∞)→R的Caputo分数阶微分定义为

式中n-1≤α

u(t)=c0+c1t+c2t2+…+cn-1tn-1,

式中ci∈R，i=1, 2, …,n-1，n=[α]+1。

引理2[1]令α>0，则

式中ci∈R，i=1, 2, …,n-1，n=[α]+1。

引理3[17]如果p>2且|x|、 |y|≤M，则对于p-Laplace算子φp，下面不等式成立

|φp(x)-φp(y)|≤ (p-1)Mp-2|x-y|。

引理4[19](Krasnosel’skiis不动点定理) 设Ω为Banach空间X上的有界闭凸非空子集，算子Φ、Ψ满足：(i)Φu+Ψv∈Ω，其中u、v∈Ω；(ii)算子Φ是紧的且连续；(iii)算子Ψ是压缩映像，则存在z∈Ω，使得z=Φz+Ψz。

2 Green函数

第2章给出分数阶微分方程边值问题(3)的Green函数。

引理5若1<α≤2，函数y∈C[0, 1]，则分数阶微分方程边值问题

有唯一解

式中

即

因为1<α≤2，利用引理2可知

根据Caputo分数阶微分的性质可得

因此，

3 解的存在性

第3章利用p-Laplace 算子的性质、Bnanach压缩映像原理和引理4给出分数阶微分方程边值问题(3)解的存在性定理。

定义算子F:X→X为

求边值问题(3)的解的存在性转化为求算子F是否存在不动点。

定理1假设1

(H2) 存在常数L>0，使得当t∈[0,T]时，对任意函数u、v∈X，有|f(t,u(t))-f(t,v(t))|≤L|u-v|成立；

则边值问题(3)存在唯一解。

证明由条件(H1)可得

因此，‖(Fu)(t)‖≤r，即F:Br→Br成立。

又因为对任意u、v∈Br，当t∈[0,T]时有

|(Fu)(t)-(Fv)(t)|≤

由条件(H3)可知,N<1时

‖(Fu)(t)-(Fv)(t)‖≤N‖u-v‖。

故算子F在Br内为压缩映射，由Banach压缩映射原理可知，算子F在Br内存在唯一不动点，即边值问题(3)存在唯一解。证毕。

按徐演的说法，这个版本本来要作为“云南民族民间文学丛书之一”出版，但因为这时由宣传部领头的，具体由一群学生组成的调查又已经启动，所以出版暂停。徐嘉瑞甚至“拿出这份由出版社已经打印成校样的整理稿，以完全无私的精神，无条件地全部交给了学生们”。

定理2假设1

则边值问题(3)至少存在一个解。

因为对任意u、v∈Br1，当t∈[0,T]时有：

|(Φu)(t)+(Ψv)(t)|≤

因此，‖Φu+Ψv‖≤r1，即Φu+Ψv∈Br1。对任意u、v∈Br1，当t∈[0,T]时有：

|(Ψu)(t)-(Ψv)(t)|≤

‖(Ψu)(t)-(Ψv)(t)‖≤N1‖u-v‖,

故算子Ψ在Br1内为压缩映射。

根据Φ的定义易知其连续。 因为对任意u∈Br1，有

因此，算子Φ一致有界。 又因为对任意t1、t2∈[0,T]，当t1

因此，当t2→t1时，有‖(Φu)(t2)-(Φu)(t1)‖→0，即算子Φ等度连续。由Arzela-Ascoli定理，Φ在Br1内为紧算子，故由引理4可知边值问题(3)存在至少一个解。证毕。

4 例子

本章给出2个例子验证本文得到的结论。

例1 证明下面一类分数阶微分方程反周期边值问题解的存在性

(4)

又因为

由定理1可知，边值问题(4)存在唯一一个解。证毕。

例2 证明下面一类分数阶微分方程反周期边值问题解的存在性

(5)

由定理2可知，边值问题(5)至少存在一个解。