分数阶永磁同步电机的广义同步研究

胡锦铭，韦笃取

(广西师范大学 电子工程学院，广西 桂林 541004)

混沌系统最基本的特点是对初值的敏感依赖性，这一特点会导致系统长期运动不可预测，混沌同步是指2个或多个混沌系统由于耦合作用将各个混沌系统运动调节至一个共同行为的过程。自1990年被提出以来，混沌同步一直是国内外非线性科学研究的热点课题之一。经过30年的发展，如今混沌同步在保密通信、自动控制、生物医学和化学等领域都发挥着重要的作用[1-4]。整数阶非线性系统的混沌同步研究成果已有许多，随着分数阶微积分的深入研究，以及分数阶非线性系统稳定性理论的发展，越来越多有关分数阶非线性系统的混沌同步方法被提出，例如：滑模控制同步、间歇同步、投影同步等[5-8]。

广义同步是指2个混沌系统运动的轨迹曲线在时间的推移下渐渐趋于一个无关时间的变换关系，即在驱动系统与响应系统的状态向量之间建立一个函数关系yi(t)=φ(xi(t))，通过这种函数关系使驱动系统和响应系统达到同步，这种函数关系有可能是确定的，也有可能是不确定的[9-11]。在关系确定时，通常是在设计的控制器中利用这样的函数关系使驱动系统与响应系统达到同步[12]。另一方面，永磁同步电机(permanent magnet synchronous motor, PMSM)是电力传动系统重要组成部分。已有研究表明，分数阶PMSM在某些参数条件下会出现混沌运动，这将严重影响电力传动系统的稳定运行，因此分数阶PMSM的混沌同步研究对保证电力传动系统的稳定运行十分重要。当前，将广义同步应用到分数阶PMSM研究的工作尚属少见[13-16]。

本文根据分数阶永磁同步电机的动力学模型特性，采用主动控制的方法，结合分数阶系统的稳定性理论，提出了一种实现分数阶PMSM的广义同步方法，并给出了该方法的理论证明过程。结果表明，在选取适当函数关系的情况下，加入控制器能够实现分数阶PMSM的广义同步。

1 分数阶微积分概述

Caputo分数阶积分定义为

(1)

式中：Xm(t)是m阶导数，m为整数且不小于p。

(2)

式中：Jq(q>0)是q阶Reimann-Liouville积分运算符；Γ是γ函数。

引理1[17]设f(t)在[0,t](k∈N,t>0)上有连续的k阶导数，存在l∈N且l≤k，p,q>0，p∈[l-1,l ]，p+q∈[l-1,l ]则

(3)

引理2[18]分数阶混沌系统

(4)

2 分数阶广义同步理论

驱动系统定义为

(5)

响应系统定义为

(6)

定义驱动系统和响应系统的同步误差为

ei(t)=yi(t)-φ(xi(t))，1≤i≤n。

(7)

式中φ是广义同步函数。

定理1设计如式(8)的控制器，即

(8)

当K是负定矩阵时，在控制器(8)的作用下，误差系统(13)的零点渐近稳定，可实现驱动系统(5)和响应系统(6)的广义同步。

证明分数阶的误差公式可以表达为

(9)

根据误差式(6)和引理1，可以对响应系统的阶次进行改写。

(10)

将式(8)、(10)代入式(6)，可以将响应系统重新表达为

(11)

p-q需要满足p-q∈(0,1]，1≤i≤n。将式(11)代入式(9)可以得到同步误差公式，即

(12)

根据式(12)，分数阶误差系统公式可以重新表达为

(13)

(14)

3 分数阶PMSM的广义同步

PMSM整数阶数学模型为：

(15)

式中：x1、x2、x3分别是转子角速度、q和d轴的定子电流；a、b是PMSM系统的无量纲系数且均为正数。系统参数取(a,b)=(10,40)，使得永磁同步电机系统呈现混沌行为。

分数阶PMSM的驱动系统为：

(16)

本文中，驱动系统的阶次取p=0.98，系统参数取(a,b)=(10,40)。阶次取分数0.98, 区别于整数阶系统的阶次，也能使分数阶PMSM系统呈现完整的混沌运动轨迹，此时驱动系统(16)呈混沌状态，其混沌吸引子如图1所示。

p=0.98，(a,b)=(10,40)，(x1(0),x2(0),x3(0))=(4,7,8)图1 分数阶永磁同步电机驱动系统的混沌吸引子Fig. 1 The attractors of themaster system

分数阶PMSM的响应系统为：

(17)

式中ui(i=1,2,3)是控制器。本文中，阶次取(q1,q2,q3)=(0.95,0.96,0.97)；通过设计控制器ui(i=1,2,3)，使分数阶PMSM的驱动和响应系统达到同步。

首先设定φ(x1,x2,x3)=(x1+x3,-2x1+x2,-x1-x2+x3)，驱动系统(16)和响应系统(17)间的误差公式可以表示为：

(18)

令

(19)

所设计的控制器ui(i=1,2,3)为：

(20)

根据式(19)，所设计的控制器满足定理1中的条件，因此，加入控制器后驱动系统(16)和响应系统(17)可以达到广义同步。

将控制器(20)代入响应系统(17)中，可以得到：

(21)

根据式(12)和(21)，误差公式可以表示为：

(22)

4 数值仿真

用Matlab软件进行数值仿真，步长h=0.001，此步长完全可以满足模拟仿真的精度要求，模拟时间T=30 s，该时间长度可以清楚地呈现系统的实验现象。驱动系统和响应系统的初始值分别取(x1(0),x2(0),x3(0))=(4,7,8)、 (y1(0),y2(0),y3(0))=(5,6,-9)。误差系统的初始状态为(e1(0),e2(0),e3(0))=(-4,7,-5)。图2(a)～(c)是未加入控制器时分数阶PMSM的误差状态曲线。由图2可知，在未加入控制器时，驱动系统(16)和响应系统(17) 状态变量之间的误差不为零，显然处于不同步状态。图3为分数阶PMSM的广义同步误差状态曲线。由图3可知，系统加入控制器2 s后同步误差曲线迅速趋于零，即驱动系统(16)和响应系统(17)实现了广义同步，证明了理论的正确性和有效性。

(a)误差系统e1的状态曲线

(b)误差系统e2的状态曲线

(c)误差系统e3的状态曲线图2 未加入控制器的分数阶永磁同步电机误差状态曲线Fig. 2 Synchronization errors of fractional-order PMSM without controller

图3 分数阶永磁同步电机的广义同步误差状态曲线Fig. 3 Generalized synchronization of fractional-order PMSM

为了验证所采用的控制策略的优越性，对分数阶PMSM混沌系统采用传统的Q-S同步方法进行同步控制，控制器设计为

u=-g(Y(t))+Jp-q(DQ-1(-(Q(yi(t))-S(xi(t)))+DS(xi(t))f(X(t))))，

式中：Q(yi(t))表示响应系统状态向量间建立的函数关系，S(xi(t))表示驱动系统状态向量间建立的函数关系。在上述系统参数和各状态向量初始值不变的情况下进行仿真，结果如图4所示，由图可见采用传统Q-S同步方法，达到同步时间为5 s，表明本文所采用的控制方法可以更快地实现同步。

图4 分数阶永磁同步电机的Q-S同步误差状态曲线Fig. 4 Q-S synchronization of fractional-order PMSM

5 结语

针对分数阶PMSM混沌同步问题，根据广义同步方法和分数阶稳定性原理，本文从理论上对PMSM的每一维都设计了控制器，使得加入控制器后的PMSM驱动系统和响应系统实现了混沌同步。利用数值仿真验证了控制器设计的正确性和有效性。本文使用广义同步方法实现了分数阶PMSM的混沌同步，不仅对电力传动系统的同步控制研究具有重要意义，而且为其他领域的分数阶系统同步控制提供了方法参考。