函数与方程思想在高考数学解题中的运用

永登县第二中学

函数与方程是高中数学教学的重要组成部分，也是教学的难点，同时也是高考着重考查的知识点。而函数与方程思想可以渗透到各个考点中，题型多、综合性强，学生很多时候会因为理解不够透彻而出现错误。因此，在教学中，教师要给学生渗透函数与方程思想，让他们掌握并能灵活应用。高考对函数与方程思想的考查主要体现在以下几个方面：

一、运用函数思想解决问题

1.根据方程与函数的密切关系，可将二元方程转化为函数来解决。

2.根据不等式与函数的密切关系，常将不等式问题转化为函数问题，利用函数的图象和性质进行处理。

3.在解决实际问题中，常涉及到最值问题的求解，通常是通过建立目标函数，利用求函数最值的方法加以解决。

4.中学数学中的某些数学模型涉及求参数范围（如数列的通项或前n项和、含有一个未知量的二项式定理、解析几何中有关量的范围等），可将其转化为函数问题，利用函数相关知识或借助处理函数问题的方法进行解决。

二、运用方程思想解决问题

1.把问题中对立的已知与未知通过建立相关关系统一在方程中，通过解方程解决。

2.从分析问题的结构入手，找出主要矛盾，抓住某一个关键变量，将等式看成关于这个主变元（常称为主元）的方程，利用方程的特征解决。

3.根据几个变量间的关系，符合某些方程的性质和特征（如利用根与系数的关系构造方程等），通过研究方程所具有的性质和特征解决。

4.在中学数学中常见数学模型（如函数、曲线等），经常转化为方程问题去解决（结合待定系数法）。

三、函数、不等式、方程的互化关系

1.对于函数y=f（x），当y=0时，就转化为方程f（x）=0，也可以把函数式y=f（x）看作二元方程y-f（x）=0。

2.对于不等式f（x）>0（或f（x）<0），可通过构造函数y=f（x）去解决。

3.对于方程f（x）=0，也可通过构造函数y=f（x）去解决，二元方程F（x，y）=0可通过变形利用x表示y得到函数y=f（x）。

四、函数与方程思想在数列中的应用

1.数列的通项或前n项和都是自变量为正整数的函数，因此常常将数列中的最值问题通过求函数最值的方法来求解，将数列中比较大小问题常常转化为利用函数的单调性进行处理。

2.已知等差数列与等比数列的某些基本量，求数列的通项，常常通过建立关于首项a1与公差d（公比q）的方程（组）来处理。

五、函数与方程思想在解析几何中的应用

1.解析几何中的参数的取值范围、最值问题常常可通过建立关于某变量的目标函数，然后利用求函数的值域（最值）的方法处理，或转化为二次方程问题，利用判别式的符号解决。

2.求直线方程、圆的方程、圆锥曲线方程常常需要利用已知条件，结合方程模型，通过建立方程（组）来解决。

六、函数与方程思想在导数中的应用

1.已知函数的单调性、极（最）值点或极值大小，以及已知曲线的切线方程求解相关的参数或曲线方程，常常要通过求导后建立方程（组）来解决。

2.在求解一些不等式恒成立问题时，常常将其转化为不等f（x）>m（f（x）

七、函数与方程思想在平面向量中的应用

1.在向量的坐标表示中，常常要结合平面向量的基本定理，或向量平行、垂直的充要条件来求参数的值，一般都要通过建立方程来解决。

2.涉及数量积的最值、向量模的长度最值问题，一般可考虑建立关于某个变量的目标函数来解决。

八、函数与方程思想在其他知识中的应用

1.在立体几何的有关探索点的位置、角的大小等问题中，常常要通过建立函数或方程来解决；求简单几何体的面积、体积的最值时，也通常要通过建立目标函数来解决等。

2.三角函数本身就是一种函数，因此利用函数的相关知识处理三角函数问题就是很自然的了，而在解决三角函数问题中还可能大量地用到方程的思想，如已知三角函数的最值、奇偶性、单调性等求参数等。