浅谈方阵的幂的求法

孙 鹏 郭 颖 刘 志

（吉林大学，吉林 长春 130000）

在矩阵的运算中，乘法是经常用到的一种计算，矩阵的乘法与数的乘法不一样，是不满足交换律的，但是如果矩阵A是一个方阵，那么则可以定义矩阵A 与自身的乘法，即矩阵的幂。矩阵的幂的形式如下：AK=A…AA，称为A 的K 次幂。

求矩阵的幂如果按照通常矩阵的乘法计算是可以计算出来的，但是当矩阵的幂比较大，通常K≥3 的时候，特别地，如果矩阵的阶数也比较大的时候，计算量就很大了，不容易得出最后答案。本文针对几种不同形式的矩阵结合例题给出求矩阵的幂的方法。

一、数学归纳法

如果一个矩阵的阶数不高,并且通过低次幂的计算能够容易找到An与n 的关系,可以用归纳法证明这种关系,并且用于计算。

例题：设矩阵

故n=k+1 时,（*）式成立。因此，对任何正整数n（n≥2），（*）式恒成立。

二、乘法结合律法

我们知道，直接求矩阵的幂一般会相当麻烦,但是如果一个矩阵可以分解成列向量乘以行向量的形式,再利用矩阵的结合律,就可以大大化简矩阵的幂的计算.

例题：已知

如果一个矩阵的行与行直接和列与列直接成比例，就可以分解成列向量乘以行向量的形式，这样就可以用上述方法求矩阵的幂，使得求解矩阵的幂变得容易计算.

三、矩阵对角化法

若矩阵A 可以相似对角化,则可以利用求出矩阵的特征值,求出A 的相似对角矩阵,进而利用对角矩阵求幂,使得简化计算的幂。

例题：已知

四、将矩阵做拆分计算

利用公式A=aI+bB 把矩阵拆为与单位矩阵相关的和的形式,其中a，b 是数,且B 的方幂容易计算.

例题:设矩阵

以上几种方法在线性代数的学习中,能够帮助同学们比较好地了解方阵求幂的基本方法,熟练掌握会得到事半功倍的效果。