基于直觉模糊优化的双边匹配决策

郭 茜，吴 刚，汪雅婷

(西南交通大学 1.交通运输与物流学院；2.综合交通大数据应用技术国家工程实验室；3.经济管理学院, 四川 成都 610031)

匹配决策问题是生产生活中大量存在的一类问题，自Gale等[1]提出以来，所受关注度与日俱增。Roth[2]进一步明确了双边匹配的概念，并结合现实中双边匹配的实例进行了详细分析。目前解决此类问题的思路主要有两大类，一类建立在序关系的基础上，另一类建立在评价值的基础上。基于序关系的双边匹配要求参与个体对另一方按照偏好程度有一个严格的排序，最终形成最优稳定匹配[3-4]。基于评价值的匹配决策依据的是匹配双方个体之间的互评信息，其目标是尽可能使匹配结果让每一位参与个体感到满意。评价值相较于序关系容易形成并较为具体，有利于形成满意匹配方案[5-6]。本文研究的便是此类问题。

受制于思维的主观性和局限性，匹配双方的互评具有模糊本质。模糊数学被引入解决此类问题，具有很好的现实意义。文献[7]提出基于直接模糊偏好关系的双边稳定匹配决策方法，无需一方主体给出另一方全体偏好序信息，利用直觉模糊偏好关系间接得到主体满意度，然后建立稳定匹配条件约束下的单目标优化模型，获得最优匹配方案。文献[8]建立了模糊环境下的目标规划模型，以合理匹配人力资源，构建跨职能团队。相较于模糊集而言，直觉模糊集对于模糊信息的刻画更为细致，并且灵活性与实用性兼具，本文的研究正是借鉴了直觉模糊集理论中有关概念和处理方法。

公平性是行为经济学中的一个重要概念。研究表明，个体的公平性感知对于满意度影响显著，较高的公平性感知能够增强个体之间的信任感，从而促进从意愿向行为的转化[9]。为此，公平性原则是管理机制设计中一个重要原则，本文在匹配过程中考虑了公平性原则。而要保证一定的公平性，就要在其他目标即匹配满意度方面作出适度让步。本文设计了一种交互式的匹配决策方法，从达到最优总体满意度的解出发，根据迭代过程中获得的新信息并结合公平性水平参考区间修订模型约束条件，在不同目标之间反复权衡，直至获得最终满意解。

1 直觉模糊集预备知识

模糊集的核心思想，是把取值仅为1或者0的特征函数扩展到可在单位闭区间[0,1]中任意取值的隶属函数，其隶属函数值是一个单一的值，不能同时表示肯定、否定和不确定的信息。为此，Atanssov[10]对模糊集进行了拓展，把模糊集推广到同时考虑隶属度、非隶属度和犹豫度这三个方面，以便更加细腻地刻画客观世界的本质模糊性。近年来的直觉模糊集理论研究成果颇丰，因篇幅有限，下面仅介绍与本文相关的理论基础知识。

定义1设X是一个非空集合，则称

为直觉模糊集，其中µα(x)和 να(x)分别为X中元素x属于α的隶属度和非隶属度，即

且满足条件

此外

表示X中元素x属于 α的不确定度。称 α=(µα,να)为直觉模糊数，其中 µα∈[0,1]，να∈[0,1]，且 µα+να≤1。对于任一直觉模糊数，可以使用得分函数对其进行评估。

直觉模糊集在模糊集理论的基础上增加了非隶属度和不确定度的概念，即同时表达支持、反对和中立3种状态，符合现实中人们对客观事物的理解与描述。隶属度与非隶属度函数的构造是模糊数学运用的难点之一，在工程技术领域中依赖于对大量历史数据的统计分析，评价模型中则普遍采用三角模糊数、梯形模糊数、正态模糊数、云模型的形式。为了便于运算分析，本文采用三角模糊数的形式构造匹配目标的隶属度与非隶属度函数，再将二者结合起来定义一个满意度函数，以此衡量满意度目标的实现水平。

2 基于直觉模糊优化的匹配决策

2.1 问题描述

对于本文所讨论的双边匹配问题，参与匹配的双方为离散的主体，分别记为E={E1,E2,···,Em}与F={F1,F2,···,Fn}，m,n≥2，不失一般性，设m≤n。集合E中第i个主体Ei，与集合F中至多一位潜在对象匹配，其间能否形成匹配的主要依据为双方的互相满意程度以及对于匹配方案的满意程度，下文简称为满意度。以表示E方到F方即以E方为主体对于潜在匹配对象的实际满意度，以表示F方到E方即以F方为主体对潜在匹配对象的满意度，中的元素与中的元素均为直觉模糊数的形式。表示主体Ei对主体Fj的满意程度为 µij(a)、不满意程度为 νij(a)，同理表示主体Ei对主体Fj的满意程度为 µij(b)、不满意程度为νij(b)，所解决的主要问题是如何利用上述匹配信息，使用一种合理有效的方法形成双方较为满意的匹配方案。本文利用直觉模糊理论中的隶属度与非隶属度的概念定义总体满意度函数，将经典的双目标匹配决策模型转换单目标模型，并将公平性因素纳入模型中，通过设计交互式算法在满足一定公平性的前提下实现总体满意度最大化。

2.2 匹配决策方法

模型LP1是一个典型的双目标0-1规划问题。为了便于求解，通常将其转化为单目标问题来处理。除了对目标系数进行简单的线性加权以外，有文献还提出了考虑主体双方互补性和一致性的目标系数组合方法，在一定程度上改进了加权法的局限性。实际应用中，如果主体双方的决策信息无法做到全面、精确，其满意度究竟要达到何种程度也是一个模糊目标。下文引入直觉模糊理论中的隶属度与非隶属度的概念对模糊目标进行量化，然后使用直觉优化模型以获得灵活、满意的解。将目标函数f1(x)和f2(x)的隶属度函数分别定义为

图1 目标函数f1的隶属度与非隶属度函数Figure 1 Membership degree and non-membership degree

s1(f1(x))、s2(f2(x))代表单方主体的整体满意度，可以s1(f1(x))与s2(f2(x))之和最大化为目标构建最优化模型(LP2)

模型(LP2)中，约束条件(11)说明其可行解必须满足模型(LP1)的所有约束。约束条件(12)对可行解的满意性作出限制：目标函数f1(x)和f2(x)的隶属度值不能低于非隶属度值，即单方主体的整体满意度非负。根据直觉模糊集的相关定义，其元素的隶属度与非隶属度之和小于1，这一点在约束(13)中得以体现。如果以最大化主体双方的最小满意度为目标，可建立优化模型(LP3)

上述模型中仅考虑了主体双方的满意度的实现程度，而在很多情况下公平性也是衡量决策方案的一个重要方面。兼顾公平性的方案能够降低主体双方利益冲突，提升匹配决策的质量和效率。如果对模型(LP2)或(LP3)产生有效解的公平性不满意，可采用交互满意的决策方法，在模型(LP2)或(LP3)局部有效解的基础上逐步改进，直至得到最终满意解为止。令作为公平性水平的衡量，双方在协商基础上事先设定 η允许的取值区间为求解模型(LP2)或(LP3)，所得有效解x∗如果能够满足公平性条件则x∗为最终的公平满意解，否则重新寻找新的有效解，策略如下。

1)当 η＜ηL时，将目标函数为f1(x)的主体的满意度水平从此时θ1的 提升至

2) 当η ＞ηL时，将目标函数为f2(x)的主体的满意度水平从此时θ2的 提升至

3) 新的有效解通过求解模型(LP4)或模型(LP5)得出。

新的有效解如果满足公平性条件，则将其作为整体满意解输出，决策过程停止；否则，根据上述策略进行更新，直至所得到的有效解满足公平性条件为止。综上所述，基于直觉模糊优化的交互式匹配决策方法的步骤如下。

步骤1根据主体双方的匹配意愿，分别构建E方与F方的直觉模糊匹配矩阵与并设置双方可接受的公平性水平 η的参考区间 ηL,ηH；

步骤2采用适当的得分函数将直觉模糊匹配矩阵与转化为得分矩阵与依据得分矩阵与建立匹配决策模型(LP1)；

步骤3针对模型(LP1)，分别求解单目标问题与的最优解，得到相应的最优目标函数值为

步骤4依据式(6)、式(7)定义直觉模糊隶属度函数µ1(f1(x)) 与µ2(f2(x))，依据式(8)、式(9)定义直觉模糊非隶属度函数ν1(f1(x))与 ν2(f2(x))；

步骤5根据式(10)所定义的满意度函数，构建最大化主体双方满意度之和的匹配决策优化模型(LP2)或主体双方最小满意度最大化的匹配决策优化模型(LP3)，求解该模型得到最优解x∗；

步骤6检验最优解x∗能否满足公平性条件，即是否位于区间

步骤7若x∗满足公平性条件，算法停止，输出x∗为该匹配问题的公平满意解，否则转下一步；

步骤8依据上述策略调整相应主体的满意度水平，将其作为约束条件构建满意度之和最大化模型(LP4)或最小满意度最大化模型(LP5)，求解该模型得到最优解x∗∗，然后转步骤6。

另外，实际应用中存在一方主体具有一定的主导地位的情况，即要求一方主体的满意度不能低于另一方的满意度，并且要确保一定的公平性。此时可在模型(LP2)~(LP5)中增加约束条件s1(f1(x))≥s2(f2(x)) 或s2(f2(x))≥s1(f1(x))，其余步骤流程不变，为此本文不作赘述。

3 算例分析

下文提供一个技术服务供需匹配的算例阐明所提决策方法，并验证其可行性和有效性。某第三方中介机构的主营业务是为中小型投资者收集新技术、产品或服务等项目信息，在供需双方之间起牵线搭桥的作用。项目信息发布后一段时间内，有明确合作意向的投资方有4家，而目前有5个待投资技术项目，鉴于资金、人员等多方面因素限制，一家投资方只能投资一个项目。为合理决策，尽可能形成满意的双边匹配，该机构收集和整理了双方的相关信息，通过人员调查与专家访谈征询双方意见，形成投资方和项目提供方的满意度评价矩阵。与上述模型中表述保持一致性，记投资方为E={E1,E2,E3,E4} ，待投资技术项目为双方的满意度互评矩阵分别记为由于存在诸多影响双方主体匹配意愿与满意度的不确定因素，与中的元素便于以直觉模糊数的形式给出，详见表1与表2。

表1 E 对 F 满意度的直觉模糊矩阵Table 1 Satisfaction degree matrix given by E for F

表2 F 对 E 满意度的直觉模糊矩阵Table 2 Satisfaction degree matrix given by F for E

π(α)代表直觉模糊集的犹豫度，该函数综合考虑了赞成、反对和弃权3个方面，是对传统得分函数的改进。利用其计算出得的分矩阵A与B分别为

根据上文所述方法步骤，建立基本匹配决策模型(LP1)，Ω代表(LP1)的可行域。求解单目标问题得到再依据式(1)、式(2)定义目标函数的直觉模糊隶属度函数，下面以f2(x)为例说明

以上4个子模型与该模型利用Matlab编程求解，输出的最优解为最优目标值为1.52，且η=0.61。如果事先将公平性水平的参考区间设置为[0.7，1.2]，则该解未能满足公平性条件，需要根据所提策略进行调整。根据上述优化结果，利用模型(LP4)求解新的最优解如下。

相较于最初的模型，该模型增加了对一方主体满意度水平的约束，是因为虽然使用最初的模型可以最大化双方的满意度之和，但是其公平性水平并不在参考区间内。目标函数为f1(x)主体方的满意度水平为0.57，远低于f2(x)主体方的满意度水平，其决策结果有失公平必须进行调整。按照2.2节所提策略，通过协商将f1(x)主体方的满意度水平在现有结果的基础上适当提升，即将s1(f1(x))调整为0.7以上，运行模型得到最优解为最优目标值1.46；此时s1(f1(x∗))=0.76，s2(f1(x∗))=0.70 ，η=1.08。经调整后的最优目标函数值虽然略次于原最优目标函数值，但是其公平性水平满足预先设定要求，可以作为最终的匹配方案，即E1与F4、E2与F3、E3与F5以及E4与F1形成匹配对。现实中的很多决策经常难以一次性达成一致，需要经过反复交互协商才能达成共识。本文所提方法正是出于这样的考虑，在第一步的优化结果的基础上对主体满意度水平作出适当调整，以保证决策结果具有一定的公平性。交互式的匹配决策方法还有很大的研究空间[10-13]，今后将在信息补充、算法设计上继续努力。

4 结论

双边匹配问题因其广阔的应用背景而受到近年来研究界的广泛关注，本文研究的是基于匹配双方评价值进行决策的情况。借鉴直觉模糊集理论中模糊信息的表达与处理方法，构造反映决策目标实现水平的满意度函数，并将公平性因素纳入决策模型中。通过设计交互式算法，结合迭代过程中获得的新信息和公平性水平参考区间修订模型的约束条件，为实现一定的公平性作出适当权衡。由于匹配问题特别是人员参与的匹配决策，受其认知能力、心理、情绪、经验等主观因素的影响较为显著。将更多人的心理行为引入匹配过程，体现其“有限理性”的特征，可以作为未来研究的一个思路。