用空间向量速求二面角的几种方法

江西 毛乐萍

利用空间向量求二面角，思路切入快，但常规方法运算量大，过程比较复杂，容易出错，是学生的常见失分点.在某些条件下，可以采用更简单的运算，快速求出结果，下面笔者介绍几种方法.

一、运用截距法速求平面的法向量

用常规求法向量的方法易证，证明过程略.下面举例来说明截距法的运用.

【例1】(2019·天津卷·理17)如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC,AD⊥AB，AB=AD=1,AE=BC=2.

(Ⅰ)求证：BF∥平面ADE；

(Ⅱ)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；

解析：(Ⅰ)证明略.

评析(Ⅱ)中若用传统求法向量的方法，则需要设法向量的坐标，利用法向量与平面中两个不共线向量的数量积为零列方程组，求得法向量，过程比较麻烦，运算量大.而运用截距法求平面的法向量，只需要知道平面在坐标轴上的截距就可以直接得出法向量，不需要计算，大大减少了运算量，且提高了运算的准确度.(Ⅲ)中若用列方程组的方法求法向量，不仅法向量是未知的，且点F的坐标中也含有未知数，更增加了运算量与难度，而运用截距法求平面的法向量，求出了截距之后，法向量一步就到位，绕开了求含参数的方程组，快速得到法向量，顺利求得结果.

二、利用二面角的定义，不求法向量

(Ⅰ)求PO的长；

(Ⅱ)求二面角A-PM-C的正弦值.

评析在二面角的两个半平面内若能分别找到垂直二面角的棱的直线，由二面角的定义，则可以转化为求这两直线的方向向量所成的角，不需要在三角形中用余弦定理求解，也不需要求两平面的法向量，简化了运算过程，大大减少了运算量，同时可以提高运算的效率，可以快速求出结果.

三、利用共线向量找等效向量

【例3】如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥AD，底面四边形ABCD为直角梯形，AD=λBC，AD∥BC，∠BCD=90°，M为线段PB上一点.

解析：(Ⅰ)延长BA与CD交于点N，由线面平行的性质定理易知存在点M为线段PB上靠近点P的三等分点.

四、利用等效平面

【例4】如图，在四棱锥P-ABCD中，△ABD是正三角形，△BCD是等腰三角形，∠BCD=120°,PC⊥BD.

(Ⅰ)求证：BP=DP；

解析：(Ⅰ)连接AC交BD于点O，∵△ABD为正三角形，△BCD是等腰三角形，

∴AC⊥BD且O为BD的中点.由已知PC⊥BD，PC∈平面APC，可得BD⊥平面APC.

∴BD⊥PO.又∵O为BD的中点，∴△PBD为等腰三角形，即PB=PD.

利用空间向量解立体几何不是难点，但却是高考重点考查内容，因为计算量大而容易出错，要重视方法的总结与积累，减少运算量，提高运算的准确度.