由2019年高考全国卷Ⅰ理科第16题谈几何法求解离心率

福建 陈崇荣

代数法是解决解析几何的通法，不足之处是计算量大，其实解析几何的本质是几何问题，若能用几何法求解往往能优化运算，离心率的求解也如此.现对2019年高考全国卷Ⅰ理科第16题进行分析、探究，并对其进行变式延展，归纳了几何法解决近年全国卷中的离心率问题，呈现了几何法解决离心率问题的思维探索过程和解题步骤，对解题教学、高三微专题复习有很好的借鉴作用.

1.问题的提出

离心率是高中数学圆锥曲线中很重要的一个概念，它是刻画椭圆“圆扁”程度的一个量(也是刻画双曲线的“张口”大小的一个量).离心率的考查是历年全国高考中的一个热点，这类问题经常和平面几何、向量、解三角形等知识相交汇，综合性强，解法灵活，而且经常创新，给考生带来了很大的难度，如何既准又快的求出离心率值得研究.

在解析几何教学中，教师往往都注重代数法去解决解析几何问题，即用坐标运算代替几何推导，久而久之学生们都习惯了将几何问题代数化的解题方法，以至于计算量大时解不出结果，而却忘记了解析几何的本身是几何问题.正因为如此，命题者喜欢命制离心率与平面几何知识交汇的试题，解答这类试题时平面几何的几何性质往往能起到四两拨千斤、一举定乾坤的作用.

2.问题解决的必备知识

解题遵循原则：1个关键：寻找a，b，c的关系式；

2个切入点：从“形”入手，从“数”下手；

3个方向：从圆锥曲线定义思考、从几何图形的性质出发、从方程的角度落笔；

4种工具：平面几何知识、平面向量知识、三角函数定义知识、函数与方程知识；

5种思想：数形结合思想、方程思想、函数思想、等价转化思想、特殊到一般思想.

3．实战演练

2019年高考全国卷Ⅰ理科第16题新颖且有代表性，题目虽不难却让很多考生束手无策.此题可以用代数法，也可以用几何法.几何法中涉及直角三角形、等腰三角形性质综合应用，涉及三角形的角平分线、垂直平分线、中线的综合应用，纯纯的平面几何味道，品纯几何味道的同时体会几何法带来简洁、快速、计算量小的优越性.

3.1关键点、难点分析

方法一：

第一步，从“形”入手，如图.

3.2解题小结

法一属于纯几何法，简洁快捷，但思维量大，对平面几何知识、双曲线几何性质的综合运用要求高.关键点、难点的突破对逻辑推理、直观想象素养要求高，达到水平三的层次.用几何性质解决离心率问题笔者分为以下三个步骤：

第一步：画图.数缺形时少直观，图形的准确与否直接影响到问题的解决.

第二步：从已知条件出发，把已知条件合理化简、转化并标在几何图形中，从几何视角、代数视角分析已知条件影响到后面方法的选择.

第三步：从图形入手，寻找几何图形(三角形、梯形、菱形、圆等)并分析其性质.如：三角形中，有三角形三线(中线、角平分线、垂直平分线)性质，有相似三角形、全等三角形、直角三角形性质.如何结合平面几何图形的几何性质与圆锥曲线知识建立起a，b，c的关系是问题解决的难点.

第四步：从“数”下手，从方程落笔.通过第三步的分析，建立关于a，b，c的方程，从而解出离心率e.

4.变式演练

通过变式，把一道试题变为问题串，展示问题的演变过程和来龙去脉，打开学生的思维，让学生从变化过程中探求一般规律，看透问题本质，进而总结问题的解决策略，高屋建瓴的把握解题方向，提高学生核心素养.

4.1变换条件

4.2特殊到一般的推广

【说明】解析几何的很多结论都可以推广，变式7-12分别是变式1-6的一般性规律，看透问题本质体会圆锥曲线的美.

5．真题演练

5.1通过三角形中线、中位线性质，建立a,b,c关系式

( )

5.2利用相似三角形相似比，建立a,b,c关系式

( )

5.3构造直角三角形，通过解直角三角形，建立a,b,c关系式

( )

解析：过点P作PM⊥x轴交x轴于点M.PF2=F1F2=2c，∠PF2M=60°，

5.4通过解等腰、等边三角形，建立a,b,c关系式

【说明】通过对近几年全国卷试题的归纳、分析和演练，了解离心率与平面几何相交汇的命题趋势，分析这些题型的难点和关键点，巩固解决离心率问题的几何方法，提升学生分析问题和解决问题的能力.

6.教学反思

用几何法求解圆锥曲线问题优点明显，运算小、简洁、快速，但思维量大.学生不善于用几何法的原因很多，与初中教材弱化几何性质的应用、初高中衔接不够和教师比较注重代数法解决圆锥曲线等都有关系.因此，教学过程中要转变重代数运算、轻几何方法的现象，紧扣圆锥曲线定义，从平面几何图形出发，结合已知条件，积极地探寻问题的几何性质，优化运算过程，从而提高学生直观想象、逻辑推理和数学运算等核心素养.