弹/箭舱段壳体动力学等效建模及模态分析

张瑞阳，杨 军，王蓉晖，韩 飞，2

(1.中国航天科技集团有限公司四院四十一所 燃烧、热结构与内流场重点实验室，西安 710025；2.西安交通大学，西安 710049)

0 引言

模态仿真是指导火箭、导弹系统研制的重要环节，可以为气动、控制、地面发射装置等多个分系统开展相关设计时提供不可或缺的参数。对于结构系统而言，能够为诸多结构力学分支提供必要的输入参数，包括结构共振的规避、静/动载荷的划分、谐响应分析、振动与冲击分析等；对于系统总体而言，模态分析则是地面振动冲击环境预示及振动条件制定所必须的中间过程；对于地面发射系统，模态仿真是开展弹/箭离轨运动与扰动精细化仿真计算的必要环节；此外，模态仿真还是开展气动弹性问题研究以及伺服弹性问题研究的重要输入。

目前，国内外诸多学者在火箭结构动力学建模与模态仿真方面做了大量研究[1-4]。梁鲁等[5]建立了CZ-3A运载火箭三维有限元模型进行动力学特性分析，并进行了相应的模态试验，仿真结果与模态试验一致性良好；孙海文等[6]通过建立某火箭有限元模型，采用Lanczos方法进行模态分析，获取全箭满载和空载状态下低阶弯曲模态数据，并完成了模态试验方案设计和试验。上述研究方法大多是基于三维有限元方法完成的，其中箭上包含了各类仪器设备、结构件等成百上千个零部件，包括所有零部件的简化、等效建模、网格划分、接触的正确识别与定义等过程比较复杂，前处理工作异常繁琐。王勇等[7]应用梁单元模型，将箭体质量分布在各节点处，建立集中质量单元，节点与节点之间用无质量的梁单元连接，可以准确反映火箭整体动特性，与试验结果有较好的一致性；李为等[8]将舱段简化平面梁模型，采用编程软件组装总体刚度矩阵和总体质量矩阵，计算了舱段的模态频率与振型。上述研究虽然将火箭舱段结构等效为梁模型，但均未跳出有限元的范畴，无法反映模型细节。

基于上述学者研究成果，为能够进一步反映模型细节与提高计算效率，本文从薄壁圆柱壳出发，提出圆柱壳-等效梁模型，将其应用于多段耦合梁结构中，完成了对舱段壳结构振动特性分析参数化建模。以有限元方法为参考，与本文方法对比分析，验证不同边界条件、几何参数下的仿真精度，并在此基础上进一步研究舱段连接位置及螺栓规格、数目对弹、箭结构低阶模态的影响规律。

1 理论模型

1.1 等效梁模型

薄壁圆柱壳是箭体主要结构形式，箭体由多个壳体舱段连接而成，整体壳结构符合梁模型基本要求，其低阶模态主要以弯曲为主。因工程中比较关注弹/箭结构低阶弯曲模态，在方案论证阶段可将其简化为梁模型，转化为求解梁的低阶模态问题。本文以两端简支圆柱壳为例进行等效简化。

根据薄壳理论，在满足一定长径比条件下，若薄壁圆柱壳为两端简支边界条件，圆柱壳整体弯曲振动频率表达式为[9]

(1)

(2)

式中a1、a2、a3为中间参数，可由边界条件求得。

经典梁弯曲理论中，两端简支梁的弯曲频率表达式为[10]

(3)

式中Ib、Ab分别为等效梁模型的截面惯性矩和横截面积。

对比分析梁和圆柱壳弯曲振动频率的解析表达式，若直接利用梁弯曲振动方法在求解圆柱壳弯曲频率，因未考虑转动惯量和剪切变形影响，会导致计算结果偏高。因此，在保证梁模型与圆柱壳结构参数的同时，需充分考虑转动惯量与剪切变形的影响，对等效梁模型得到的弯曲频率进行修正[11]，即

(4)

(5)

同理，也可对两端自由，一端固支、一端自由等边界条件下圆柱壳进行等效。

1.2 多段耦合梁模型

弹/箭多舱段连接结构可简化为多段梁耦合模型进行分析。如图1所示为多段梁耦合结构，假设耦合截面之间无刚度损失。各段梁的抗弯刚度分别为E1I1、E2I2、…、EnIn；长度和横截面积分别为l1、l2、…、ln和A1、A2、…、An；密度分别为ρ1、ρ2、…、ρn。

图1 多段耦合梁模型

若多段梁两端与耦合处均为自由边界，根据边界条件和连续性条件可以得到4n×4n个边界方程。

设各段梁的位移函数为[11]

wi(x)=Wisinμix+Xicosμix+Yisinhμix+

Zicoshμix，i=1，2，…

(6)

式中μi=(ω2ρiAi/EiIi)1/4；Wi、Xi、Yi、Zi为常系数。

第1段梁左端边界方程为

(7)

第n段梁右端边界方程为

(8)

第1～n段梁耦合处的边界方程为

(9)

将式(6)代入式(7)～式(9)得

Ba=0

(10)

式中a为Wi、Xi、Yi、Zi组成的向量；B为4n×4n阶系数矩阵。

向量a表达如下：

a=[a1a2…an]T

(11)

向量a中各个元素为各段梁位移函数的系数：

ai=[WiXiYiZi]，i=1，2，…，n

(12)

要使Wi、Xi、Yi、Zi有解，则B的行列式等于零，即

|B|=0

(13)

上式也是耦合梁的频率方程，通过求解上式得到梁各阶振动弯曲频率ωi。将ωi代入式(10)求出各段梁位移函数的系数，即可得到耦合梁模态振型。

1.3 舱段对接结构等效建模

图2为火箭典型舱段对接结构截面示意图，通常由于加工精度和螺栓预紧力等因素的影响，舱段对接面并非刚性连接，仅在螺栓附近近似刚性连接，因此可以采用以下方法进行等效建模[12]。

忽略定位螺栓与对接螺栓的尺寸差异，忽略定位销，去除舱段对接中的所有紧固件，并根据对接螺栓数目，通过若干圆圈区域将对接面进行划分，如图2所示。圆圈区域以对接螺栓对应通孔为中心，以8～10倍对接螺栓半径作为圆圈区域半径。在有限元模型中，仅将相邻舱段在圆圈内的对接区域进行绑定固连。

结合对接结构等效建模方法，对舱段对接面抗弯刚度进行等效。图2中，根据螺栓数目，确定所有圆圈区域面积对应圆周角占整个圆周角的比例，求得舱段对接面实际抗弯刚度。具体计算方法：

图2 舱段对接结构示意图

(14)

2 方法验证

多段耦合梁模型是基于刚性连接假设条件下得出的，弹/箭结构由于对接螺栓的存在，对接面存在刚度损失，可通过式(14)计算对接面等效抗弯刚度。以有限元方法为参考，验证本文方法的准确性和适用性。

若一薄壁圆柱壳长度L=7.5 m，半径R=0.2 m，厚度t=4 mm，密度ρ=7850 kg/m3，杨氏模量E=2.0×1011Pa，泊松比υ=0.3。

2.1 边界条件适用性验证

等效梁模型是基于两端简支圆柱壳进行等效求得，为进一步验证其适用于不同边界条件，对典型边界条件下进行仿真分析，仿真结果如表1、表2所示(文中仅给出两端自由圆柱壳模态振型比对)。

表1 两端自由圆柱壳模态振型

由表1可见，圆柱壳两端自由边界条件下两种方法的模态振型基本一致；表2仿真结果显示，两种方法模态弯曲频率最大相对误差不超过3%，适用于不同典型边界条件，体现出本文方法是行之有效的，且满足工程精度要求。

表2 圆柱壳模态频率仿真结果

2.2 几何参数适用性验证

保持圆柱壳材料参数与结构参数中的厚度、半径相同，通过改变轴向长度，探索等效梁模型对长径比的适用范围，因工程中比较关注壳体低阶模态，文中仅给出前两阶模态弯曲频率相对误差与长径比的关系。

仿真得到前两阶弯曲频率相对误差与长径比的关系如图3所示。图中随着长径比的增加，前两阶弯曲频率相对误差逐渐减小并趋于平稳，此时精度达到最大；长径比很小时，圆柱壳低阶模态主要为呼吸模态，误差较大。当长径比大于10时，等效梁模型模态分析相对误差可以保持在2%左右，能够保证良好的精度。

图3 前两阶弯曲频率相对误差与长径比关系曲线

2.3 舱段对接结构等效方法验证

基于上述边界条件、几何参数适用性验证得出：在满足一定长径比条件下，梁模型适用于求解薄壳结构的模态弯曲特性。考虑到舱段对接结构在对接面处的刚度损失，需对其等效方法进行进一步验证。若一舱段对接结构，两舱段材料均为结构钢，长度l1=l2=4 m，直径d1=d2=0.4 m，厚度t=0.004 m，仿真结果如表3所示。

表3数据表明，文中所述舱段对接结构等效方法仿真结果与有限元结果具有良好的一致性，其最大相对误差不超过2%，不仅彰显了舱段等效方法的有效性，同时还可利用此方法求解弹/箭复杂舱段对接结构。

表3 舱段模态仿真结果

2.4 仿真精度验证

若某型号运载器箭体由5个舱段对接而成，舱段外径均为0.4 m，每个对接面使用4×M14螺栓进行连接，箭体两端处于自由边界，各舱段具体参数见表4。

表4 箭体各舱段参数

根据上述箭体各舱段参数建立舱段连接结构的耦合梁模型与有限元模型，其中有限元模型包含5个实体子结构、2712个接触单元，52 025个实体单元，节点总数为107 344。仿真计算得到其前三阶模态频率如表5所示。

仿真结果表明，表5中两种方法仿真结果基本相同，且前三阶模态弯曲频率相对误差大致在2%左右，精度相对较高，满足工程中实际需要；其次，本文方法的优势还体现在以下几个方面：

表5 舱段模态仿真结果

(1)从矩阵规模来看，在忽略模型细节、局部简化的前提下，有限元模型总体刚度矩阵规模依旧是模型频率方程矩阵的103倍左右，若充分考虑模型细节进行精细化研究，有限元方法对计算机要求较高，相比之下本文方法计算成本较低、效率较高。

(2)时间方面，结合同系列产品模态测试结果，根据本文方法所得相关结论，如全箭长度、舱段连接位置、数目、连接形式等对于全箭模态的影响规律的定量分析结果，可快速完成新研型号的模态预示。

3 参数分析

考虑到舱段对接面所处位置、螺栓数目对整体结构固有特性的影响，基于本文方法与有限元法开展参数影响规律研究。选取舱段直径d=0.4 m，厚度t=4 mm，材料为结构钢，建立有限元与等效梁模型，对不同参数开展影响规律研究。

3.1 舱段对接面位置对模态分析的影响

选取舱段总长度l=8 m，其他参数相同条件下，将舱段对接面沿轴向方向分别设置在不同位置，可以得到舱段对接面所处不同位置时对弹/箭结构固有频率的影响规律，如图4所示。

由图4(a)～(c)可看出，弹/箭结构模态频率对舱段连接位置比较敏感，随舱段连接位置变化而变化，图中显示本文方法与有限元方法得到的规律曲线基本一致，在舱段连接位置相同情况下，两种方法的相对误差不超过1%，误差原因为在推导式(14)的过程中，略去了其中的高阶项；图4(d)中，对比前三阶模态频率变化规律，随着舱段连接位置的变化，各阶弯曲频率均出现不同程度的下降，其中模态位移最大处对舱段对接面位置最敏感，导致各阶弯曲频率下降最大，在弹/箭结构设计中舱段连接位置应尽量与这些位置错开或增强对接面抗弯刚度。

(a)First order bending mode (b)Second order bending mode

3.2 螺栓规格、数目对模态分析的影响

根据3.1节选取轴向中点处作为舱段对接面位置，由于一阶模态频率在此处比较敏感，二阶模态频率基本无变化，通过改变螺栓参数将参数影响规律反映到一阶模态频率变化上。保证其他参数不变的情况下，改变螺栓规格、数目得到一阶模态频率变化曲线，如图5所示。图5显示，在螺栓规格相同的条件下，随着螺栓数目的增大，固有频率也随之增大；在螺栓数目相同条件下，随着螺栓规格的增大，固有频率也随之增大。参照式(14)，随着螺栓数目、规格的增大，舱段对接面趋于刚性连接规律相符；反之，螺栓数目越少，舱段对接面刚度则越小，模态频率降幅也越大，模态频率最大降幅达到8%以上。因此，参考舱段对接面位置，连接刚度等多方面因素确定螺栓规格与数目对火箭整体结构设计具有重要意义。

图5 模态频率随螺栓参数的变化

4 结论

针对有限元方法在系列化火箭产品模态仿真中计算效率较低的问题，本文提出了等效梁模型计算方法，并与有限元方法进行了对比，验证了其有效性，并呈现出以下优势：相比于三维有限元繁琐的前处理工作，本文方法能够在结构设计过程中快速实现参数地更改；在精度相当的条件下，能够迅速完成模态预示；可以快速完成相关参数对全箭模态的影响规律的定量分析。与此同时，在上述基础上进一步研究了舱段对接结构相关参数对结构低阶模态的影响。主要得出结论如下：

(1)本文方法特别适用于同系列型号方案论证阶段，对于大长径比舱段壳体结构，适用于典型边界条件，且相对误差可以保证在2%左右，模态仿真精度较高，工程适用性强。

(2)箭体结构模态频率对舱段连接位置比较敏感，随着位置的变化而变化。其中，模态频率变化最大位置对应振型位移最大处。因此，在弹/箭结构设计中，舱段连接位置应尽量与这些位置错开。

(3)在舱段对接螺栓规格相同的条件下，随着螺栓数目的减小，模态频率随之减小；在螺栓数目相同条件下，随着螺栓规格的减小，模态频率随之减小。螺栓参数变化反映在刚度上，即弹/箭结构随着连接刚度降低模态频率也随之降低。