含一阶导数项的二阶常微分方程Dirichlet边值问题解的存在唯一性

陈慧玲，崔玉军

(山东科技大学 数学与系统科学学院,山东 青岛 266590)

微分方程边值问题在数学中的应用十分广泛,近年来,关于二阶微分方程Dirichlet边值问题的相关研究受到许多学者的关注,并已有许多重要结果[1-2]。本研究主要探讨含一阶导数项的二阶微分方程Dirichlet边值问题解存在唯一性,其中f:[0,1]×R×R→R为连续函数。当非线性项不含有未知函数的导数时；已有文献研究了各类微分方程边值问题解的存在性和唯一性.如文献[3-4]利用锥上不动点指数和不动点理论研究了二阶微分方程正解的存在性；文献[5]讨论了超线性条件下奇异边值问题正解的存在性；文献[6]利用分歧理论讨论了超线性和次线性条件下二阶微分方程多解的存在性；文献[7]利用矢量场旋转度理论研究了二阶微分系统多解的存在性；文献[8]利用混合单调算子给出了奇异二阶微分方程Dirichlet边值问题解的存在唯一性,文献[9]在假设非线性项满足Lipschitz条件的情况下，运用u0-范数和压缩映射原理给出了一类四阶微分方程边值问题解的存在唯一性结论。当非线性项含有未知函数的导数时,微分方程边值问题解存在唯一性的研究还需要进一步的探索和完善。

(1)

本研究首先将求解含一阶导数项的二阶微分方程Dirichlet边值问题转化为求积分方程组的连续解,然后在广义的Lipschitz条件下,运用Picard逐次逼近法和矩阵的谱理论证明了积分方程解的存在唯一性。本研究的主要创新之处在于，一是微分方程边值问题的非线性项推广到含有未知函数的导数和满足广义的Lipschitz条件，这使得微分方程边值问题的研究更具有一般性；二是通过定义在乘积空间上的非线性算子，利用Picard逐次逼近法和矩阵的谱理论得到了解的存在唯一性结论,并给出一致收敛于唯一解迭代序列的误差估计式。

1 预备工作

假设δ(t)是定义在[0,1]上的连续函数,则二阶微分方程Dirichlet边值问题

(1)

的解[2]可表示为：

其中格林函数G(t,s)的表达式为：

对积分方程两边求导可得：

因此当f:[0,1]×R×R→R连续时,微分方程Dirichlet边值问题：

解的存在性等价于积分方程组

(2)

解的存在性,其中v=u′。

引理1[2]格林函数G(t,s)具有下列性质:

1) 0≤G(t,s)≤t(1-t),∀t,s∈[0,1],

2)G(t,s)≥s(1-s)·t(1-t),∀t,s∈[0,1]。

假设下列条件成立:

(H1):存在定义在[0,1]上的非负连续函数p(t),q(t),对t∈[0,1],有|f(t,x1,y1)-f(t,x2,y2)|≤p(t)|x1-x2|+q(t)|y1-y2|,x1,x2,y1,y2∈R。

(H2):存在定义在[0,1]上的非负连续函数φ1(t),φ2(t),使得对任意非负连续函数ψ1(t),ψ2(t),都有:

(3)

(4)

其中,M,N是依赖于ψ1(t),ψ2(t)的非负数。

特别是,当ψ1(t)=φ1(t)时,使得式(3)成立的最小的M记作λ11；当ψ1(t)=φ2(t)时,使得式(3)成立的最小的M记作λ12；当ψ2(t)=φ1(t)时,使得式(4)成立的最小的N记作λ21；当ψ2(t)=φ2(t)时,使得式(4)成立的最小的N记作λ22。

(H3):由(H2)中λ11,λ12,λ21,λ22构成的二阶矩阵

的谱半径记为r(A),且满足r(A)<1。

(5)

下面举例说明条件(H2)的合理性：

由引理1可知格林函数G(t,s)满足G(t,s)≤t(1-t),∀t,s∈[0,1],因此对任意非负连续函数ψ1(t)有

又由|Gt(t,s)|≤1,对任意非负连续函数ψ2(t)可得:

当φ1(t)=t(1-t),φ2(t)=1时,举例说明条件(H3)的合理性。

1) 当p(t)=5,q(t)=1时。经过积分计算可得:

2) 当p(t)=6t,q(t)=2t时。经过积分计算可得:

2 主要结果

定理1若条件(H1)、(H2)、(H3)成立,则二阶微分方程Dirichlet边值问题(1)存在唯一解u∈C[0,1]。

T(u,v)=(T1(u,v),T2(u,v)),

其中

显然,u是边值问题(1)的连续解当且仅当(u,u′)=T(u,u′)=(T1(u,u′),T2(u,u′)),即(u,u′)是算子T的不动点。因此下面讨论算子T不动点的存在唯一性。

任意取(u0,v0)∈C[0,1]×C[0,1],定义序列：

首先证明{(un(t),vn(t))}是C[0,1]×C[0,1]上的柯西列。由条件(H1)和(H2)可知,存在非负常数M=M1+M2,其中M1依赖于|u1(t)-u0(t)|,M2依赖于|v1(t)-v0(t)|,使得：

类似可证,存在非负常数N=N1+N2,使得

≤N1φ2(t)+N2φ2(t)=Nφ2(t),t∈[0,1]。

下面利用数学归纳法证明:对任意的k≥1,有

|uk(t)-uk-1(t)|≤aρk-1φ1(t),|vk(t)-vk-1(t)|≤aρk-1θφ2(t),t∈[0,1],

(6)

明显当k=1时,(6)式成立。假设当k=n时,(6)式也成立。当k=n+1时,利用式(5)和条件(H2)有

和

≤aρn-1(λ21+λ22θ)φ2(t)≤aρnθφ2(t),t∈[0,1]。

这说明式(6)对任意的k≥1时成立。对任意的m,n≥1,由式(6)可得

|un+m(t)-un(t)|=|un+m(t)-un+m-1(t)+un+m-1(t)-un+m-2(t)+…+un+1(t)-un(t)|

≤|un+m(t)-un+m-1(t)|+|un+m-1(t)-un+m-2(t)|+…+|un+1(t)-un(t)|

≤aρn·φ1(t)·(1+ρ+ρ2+…+ρm-1)

(7)

和

|vn+m(t)-vn(t)|≤|vn+m(t)-vn+m-1(t)|+|vn+m-1(t)-vn+m-2(t)|+…+|vn+1(t)-vn(t)|

≤aθρn·φ2(t)·(1+ρ+ρ2+…+ρm-1)

(8)

因此,{(un(t),vn(t))}是C[0,1]×C[0,1]上的柯西列。由空间C[0,1]×C[0,1]的完备性,存在(u,v)∈C[0,1]×C[0,1],使得{(un(t),vn(t))}在C[0,1]×C[0,1]上一致收敛于(u(t),v(t))。利用函数f的连续性和函数列的一致收敛性，不难证明:

且满足u′=v。说明算子T存在不动点(u,u′)。在式(7)～(8)中令m→+∞，可得到迭代序列一致收敛于微分方程解的误差估计式：

算子T不动点唯一性的证明类似于不动点存在性的证明,故略去。

3 结论

研究了含一阶导数项的二阶微分方程Dirichlet边值问题解的存在唯一性，首先利用变量代换转化为等价积分方程组连续解的存在唯一性问题。然后在非线性项满足广义的Lipschitz条件下,运用Picard逐次逼近法和矩阵的谱理论证明了解的存在唯一性，并给出一致收敛于唯一解迭代序列的误差估计式。在后续的研究中，将针对分数阶微分方程边值问题解的存在唯一性问题进行研究。