基于GeoGebra的电势可视化研究——由一道电势图像题引发的思考

陈林 桑芝芳

(苏州大学物理科学与技术学院 江苏 苏州 215000)

“电势”是高中物理中最为抽象的概念，学生怕学，老师怕教，为了降低教学难度，许多教师采用类比的方法[1]，将电势与地势类比．然而以上的教学往往主要是文字描述或板书讲解，学生在脑海中难以形成直观的印象．同时，对于场源电荷稍微复杂的情形, 电势、等势面也相对复杂, 寻找一种简单的方法变抽象为直观, 是很有意义的．

文献[2～4]虽然描绘出了电势空间分布图，但是借助的软件都是Matlab，需要较强的编程能力，文献[5]中虽然采用的是GeoGebra软件，但没有推广到多个点电荷系统的电势分布中去．

GeoGebra软件，几乎不需要任何的编程语言就能将电势的空间分布图描绘出来，对中学教师来讲非常方便，能获得了较好的仿真实验结果和教学效果．

1 例题

【题目】(2011年高考上海卷)两个等量异种点电荷位于x轴上,相对原点对称分布,正确描述电势φ随位置x变化规律的是图( )

解析：正、负电荷在连线中点处产生的电势一正一负，故此处即坐标原点处的总电势为零．顺电场线方向电势逐渐降低，因此，在坐标原点左侧，各点的电势都大于零；在坐标原点右侧，各点的电势都小于零，正电荷处电势最高，负电荷处电势最低，无穷远处的电势为零，因此选项A正确．

2 GeoGebra设计与实现

在空间直角坐标系下，设P点坐标为(x，y，z)，点电荷qi所在位置的坐标为(xi，yi，zi)，则P点处的电势为

(1)

其中P为空间的任意位置，式(1)为一个三元函数，加上电势φ共4个变量，在三维空间中无法描绘出它们的关系．所以此处只考虑平面z=zi内的电势分布，则点P在平面z=zi内的电势分布为

(2)

假定两个电荷为等量异种电荷，分别位于三维坐标(-2,0,0)和(2,0,0)上，根据式(2)，在3D绘图区用z轴坐标表示电势．

xOy平面上任意一点的电势可以表示为

(3)

为了便于作图，取k=1，拖动GeoGebra中的滑动条，调节q1和q2使两者互为相反数，得到如图1所示三维图像．

图1 2个等量异种电荷空间电势分布

在输入区输入y=0,3D绘图区立即出现一个新的平面，即xOz平面，在工具栏点击【相交曲线】工具，然后在3D绘图区先后点击两个面，就会出现两个面的交线，如图2所示．

图2 两个面相交

隐藏两个面，只保留交线，然后沿y轴方向观察，就可以得到等量异种电荷连线上电势分布图像，如图3所示．

图3 2个等量异种电荷连线上的电势分布

图3的得到过程对于学生来说更具说服力与直观性，并且比板书讲解、徒手绘画更加严谨科学[4,5]．

3 问题的拓展分析

3.1 等量同种电荷的空间电势分布

在完成等量异种电荷的空间电势分析之后，笔者拖动GeoGebra中的滑动条，使q1和q2相等，便可以很方便地得到等量同种电荷的空间电势分布，如图4所示．

图4 2个等量同种电荷的空间电势分布

同理，用上述相同的方法可以得到等量同种电荷连线上的电势分布，如图5所示．

图5 2个等量同种电荷连线上的电势分布

3.2 等势线的绘制

在上述绘制完成之后，在输入区分别输入：z=2,z=3,z=4,z=5,z=6，这几个面相当于等势面，点击【相交曲线】工具，便可绘制成如图6所示的等势线．再旋转图像，沿z轴俯视看下去，得到如图7所示的等势线图，效果非常好，也与传统教学过程的结论是一致的．

图6 2个等量同种电荷等势线的空间分布

图7 2个等量同种电荷等势线的二维平面图

由图6和图7也可以清晰地看到：平面上电势越高，在空间中的位置也越高，这可以形象地与生活中的地势联系起来，更好地理解电势的物理含义．在距等量同种电荷距离越远处,等势线越接近于圆形．

3.3 多个点电荷系统的电势分布

我们以式(3)为基础，只要相应增加等式右边的求和项，就可以得到多个点电荷组成系统的电势分布．如在2个点电荷的基础上，再加1个点电荷，就得到3个点电荷组成的点电荷系的电势分布图，如图8所示．

图8 3个等量同种点电荷的空间电势分布图

再按照上述画等势线的方法，可以得到图9．

图9 3个等量同种电荷等势线分布

在GeoGebra中，拖动滑动条，使q3的电荷量为-3.8，得到3个异种点电荷形成的电势分布图，如图10所示．

图10 3个点电荷的电势分布图

同理，我们可以得到4个、5个等多个点电荷组成的点电荷系的电势分布图．图11是4个位置对称、等量同种电荷形成的电势分布图．图12是4个异种电荷形成的电势分布图．图13是5个异种点电荷形成的电势分布图．

图11 4个等量同种点电荷的电势分布图

图12 4个异种点电荷的电势分布图

图13 5个异种点电荷的电势分布图

4 结束语

利用GeoGebra强大而方便的科学计算功能和绘图能力,由一道高考电势图像题引发思考，分别对2个点电荷系和多个点电荷系的电势分布进行仿真模拟．不但可以准确地描绘任意点电荷系的等势面分布图, 还画出了电势分布的三维立体图．