利用COMSOL Multiphysics开发高中物理电场线教学素材

摘  要：在中学物理教育中，电场和电场线是重要的抽象概念。然而，传统教材中的示意图往往过于简化，缺乏实际物理情境的支撑，这不利于学生对这些概念的理解和思维建构。为解决这一问题，笔者利用ＣＯＭＳＯＬ Ｍｕｌｔｉｐｈｙｓｉｃｓ开发了一系列电场线相关的教学素材，生动展现了孤立带电体及其在复杂外界影响下的电场线分布。这些素材的开发有助于教师利用仿真技术有效地分析和可视化电场概念，同时提供了一系列更贴近真实生活的非理想环境案例，使学生能够深入理解电场，并培养他们的探究精神和创新能力。

关键词：ＣOMSOL仿真；电场线；等势线

中图分类号：G633.7 文献标识码：A     文章编号：1003-6148（2024）6-0083-4

电场线作为高中物理教学的关键内容，能够直观地揭示电场的方向和强度，是学生理解电场特性的重要工具。此外，电场线的知识为学生进一步探索电场能量性质奠定了基础。现行人教版高中物理教材虽然提供了孤立点电荷、等量电荷以及平行板电容器等电场线分布示意图，但这些示例有限且简化，不足以全面深化学生对电场的认识，也不利于创新能力的培养。因此，开发更多教学素材以增强学生对电场概念的理解变得尤为迫切。

鉴于电场线的抽象性和不可触摸性，软件仿真是构建电场线教学素材的关键技术。目前，市场上存在多种用于模拟电场线的软件，如Ｇｅｏｇｅｂｒａ［１］、ＮＯＢＯＯＫ［２］、ＰｈＥＴ交互仿真平台［３］、ＭATLAB［４］和Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ［５］等。这些软件能够以几何方法绘制电场线，但多数仅限于简单示意图的展示，难以仿真不同表面电荷密度下、不同介电质中的电场线和等势线或等势面，无法与真实物理情形关联起来。此外，这些软件也不擅长处理带电体电场与其他物体之间的耦合问题，例如带电体在金属或介电材料附近的电场线扭曲现象。尽管ＭATLAB和Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ具备解决这类问题的能力，但较高的编程技能要求限制了它们的广泛应用。基于此，本文利用ＣＯＭＳＯＬ Ｍｕｌｔｉｐｈｙｓｉｃｓ （以下简称“ＣＯＭＳＯＬ”）开发的教学素材，不仅展示了孤立带电体的电场线，还模拟了带电体在复杂环境中的电场线分布，从而提供了一种更接近现实情境的教学方法，有助于学生深入领悟电场的本质。

１    ＣＯＭＳＯＬ简介

ＣＯＭＳＯＬ 是一款基于有限元法的通用分析和仿真软件［６］，能够模拟单个物理场以及灵活地耦合多个物理场。该软件便利地仿真单物理场和多物理场耦合问题，允许用户通过几何模块构建物理模型，并通过网格剖分实现有限元分析。用户可以为模型对象匹配材料和物理场接口，每个物理场接口内置了相应的物理公式，从而实现对电磁、结构力学、声学、流体流动、传热等专业问题的分析计算，并绘制可视化场景。ＣＯＭＳＯＬ的物理模型可视化功能不仅提升了中学物理课堂教学的趣味性，帮助学生构建科学思维，还有利于培养学生的探究意识和创新素养。

２    电场线教学素材开发

２．１    孤立带电体电场线和等势面

为了便于对比ＣＯＭＳＯＬ与教材中的素材差异，首先仿真一个孤立带电体的电场线和等势面。在仿真过程中，需要建立物理模型，而ＣＯＭＳＯＬ提供了一个功能强大且简单易用的模型开发器。全局定义可以设置一些全局参数，如带电体的表面电荷密度。通过组件中的几何组件来构建带电体及静电场分布空间，并通过材料组件确定空间介质的材料属性。选择三维模型，并选择相应的物理场接口，如ＡＣ／ＤＣ—电场和电流—静电（ｅｓ）。在几何中，选择生成球体，并在参数中带电球体画成半径为０．１ m的球体１，球心位于坐标系原点，并在全局定义—参数１中定义好球体１的面电荷密度为１×１０－８ Ｃ/ｍ２。为了计算球体１在周围空间产生的电场线，设置一个更大的、半径为１ m的球体２，通过“差集”功能把球体１和球体２球面之间的区域作为物理场的域。然后，通过软件的材料库选择空气（Ａｉｒ）作为域内的介质。

由于研究的是静电场，因此选择了物理场—添加物理场—ＡＣ／ＤＣ—电场和电流—静电（ｅｓ）。接着，在静电选项中点击右键添加表面—电荷密度，并在设置窗口中手动添加边界，将球体１的外表面作为电荷密度的分布区域。由于系统把球体的表面切分为８个边界，因此需要全部选定这８个边界。在计算前，还需设置静电场的接地端，即选择球体２的球面作为接地。由于ＣＯＭＳＯＬ是基于有限元法进行计算的，因此需要网格剖分。点击网格，在设置中选择全部构建，即可实现对域的网格剖分，如图1所示。

最后，点击研究—计算，执行计算后，就可以得到电场和电势等静电性质。由于是三维空间，可以得到电场线的三维空间分布，如图2（ａ）所示。从图2可以看出，电场线由球体表面沿经线向外辐射。右侧的颜色图例表示当颜色从浅紫、紫、兰、橙、红、棕变化时，电场强度从１１．２ Ｖ/ｍ增加到１．１９×１０３ Ｖ/ｍ。从图中可以看出，离带电体越近，颜色越红，电场线越密集，电场强度越大。这一素材和教材中的示意图相比，多了场强大小的颜色表达。因此，将其作为教学素材时，教师不仅可以实现电场线的可视化，还能实现场强大小的可视化。学生多了一个了解静电场的视觉维度，更容易形成对电场的思维建构。

需要指出的是，图2给出的是电场和电场强度的计算结果，而非教材中的示意图。将其作为教学素材，还能让学生接触到科学绘图，培养严谨的科学态度和精神。由于孤立带电体的电场线具有球对称分布的特点，可以通过软件的视图切换功能（点击箭头所指方向），切换到ｘｙ平面视图，如图2（ｂ）所示。平面视图更简单，容易理解。由平面视图可以看出，电场线向外辐射是沿圆的径向方向。不同颜色的分界面为等势线，等势线为圆形，与电场线垂直。在教学时，可以先展现平面视图，再向学生展现三维视图。展现三维视图时，告诉学生在三维视角下，电势相等的点形成的不再是圆线，而是球面。这样由易到难的进阶式教学，更符合学生的认知规律。

通过三维绘图组—添加流线—流线类型中添加箭头，还可以给电场线加上方向箭头，便于学生判断电场的方向，结果如图3所示。可以看出，图中还描绘了一个等势面（等势面的个数可以设置），等势面是球面，与电场线方向垂直。这说明电势在球面内不变，但会沿着电场线的方向变化。在电场线中引入等势面，能把电场线、等势面（或者等势线）和电场的概念联系起来，便于学生理解电场线的物理内涵。

２．２    两个带电体的电场线和等势面

对于两同种电荷或两异种电荷的电场线分布的模型建构与孤立带电体类似。建构时，由于缺少球形对称性，不宜再采用球形域，而是采用立方体与两个小球的“差集”作为物理场的“域”空间。空间介质仍然取空气，并让立方体的六个面接地。案例中，采取相同半径的两个带电量相同的球体作为电荷载体。

对于同种正电荷，由于体积相同，只需要设置两个球体的表面电荷密度相等且符号均为正值即可，计算结果的平面视图（ｘｙ平面）如图4所示。

由图4（ａ）可以看出，两个带正电球体发出的电场线垂直于球体表面向外，由于是同种电荷，所以电场线不闭合。图4（ｂ）为流线图的二维视图，电场线上加了箭头，学生更容易判断电场线的特点，即从正电荷出发，向无穷远处延伸。颜色图例表明，沿电场线方向，电势是逐渐减小的。不同颜色的分界面为等势面，靠近电荷的地方，等势面为球面，且量值最大。离电荷较远的地方，由于两个电荷电场线的耦合，电场线不再球对称，等势面也不再是球面。由于立方体外表面接地，所以外表面电势为零。平面视图表现为矩形的四个边电势为零，电场线与边垂直。

对于异种电荷，只需要把其中一个球体的表面电荷密度设为正值，另一个设为负值，即可计算得到ｘｙ平面多切面视图和流线视图，如图5所示。

２．３    带电体附近有其他介质存在时的电场线和等势面

在实际情况下，带电体附近常常存在其他物质，这些物质会影响带电体产生的电场，表现为电场线分布的变化。因此，可以利用ＣＯＭＳＯＬ强大的计算和仿真功能来研究这一问题。含电介质的平行板电容器是一个很好的例子，其结构简单，适合作为初学者的学习素材。

需要指出的是，虽然平行板电容器是三维器件，但在垂直于平行板的切面上，电场分布相同。因此，可以将三维问题简化为二维问题，分析切面上的电场即可。这样做的好处是，可以减少计算量和自由度，提升仿真效率。

在构建有限元模型时，尖锐的边缘会导致局部奇点和场与网格细化不收敛。为了避免这些尖锐的边缘及其产生的奇点对仿真结果的负面影响，可以将两个矩形的一端进行倒圆角处理，以使边界更加光滑。利用矩形、倒圆角、复制和镜像等操作构建几何对象，既可以提高作图速度，又便于后续的网格剖分和计算。

在此模型中，将下面的对称平板接地，上面的两个对称平板作为终端，终端电压设置为５ Ｖ，平行板间距为４ ｃｍ。中间的圆球定义为介电屏蔽材料，表面厚度为１ ｍｍ。域内空间介质为空气，介电常数为１。当电容器中间不存在介电屏蔽材料时，中间圆球的介电常数设定为１（与空气一致），计算结果如图6（ａ）所示；当电容器中间存在介电常数为３０的屏蔽材料时（圆球的介电常数设定为３０），计算结果如图6（ｂ）所示。其中，带箭头的流线为电场线，而不带箭头的线为等势线。

可以看出，当没有介电屏蔽材料时，平行板内部的电场线和等势线都是平行的，形成一个矩形网格。从平行板边缘开始，它们变得不平行。而当存在一个介电常数为３０的球形屏蔽材料时，平行板内部的电场线和等势线明显受到介电屏蔽材料的影响，在球形的上、下端变得密集，而在左、右端变得稀疏，流线箭头类型为等时间流线箭头。在图6（ｂ）中，介质内的电场线箭头位置偏上，表明电场线在经过介电屏蔽介质时，运动速度较慢。这些计算仿真结果可以作为电场线教学的可视化素材，让学生观察、分析和思考，从而形成对静电场、等势线和介电屏蔽等概念的思维建构。

３    结  语

通过ＣＯＭＳＯＬ Ｍｕｌｔｉｐｈｙｓｉｃｓ软件开发了三个静电场教学素材，旨在向中学物理教师展示如何利用ＣＯＭＳＯＬ构建物理模型，以及其在教学中的应用技巧。这些素材设计贴近实际生活中的复杂环境，有助于学生深入理解电磁场的概念。ＣＯＭＳＯＬ的优势在于它平衡了入门难度，功能强大，使具备一定物理基础的教师能够在短时间内掌握，并仿真复杂的电磁场模型。这种方法不仅促进了学生探究精神、批判性思维和创新能力的发展，而且ＣＯＭＳＯＬ的多功能性还允许教师构建传热、声学、力学和光学等多种物理模型。ＣＯＭＳＯＬ官网提供了丰富的仿真案例资源，教师可以从中获得灵感，进一步开发新的教学素材。本研究中的第三个教学实例即是在官方案例的基础上构建而成，这种借鉴方式大大提高了开发效率。

参考文献：

［１］张鑫燚，邱苍穹，徐丽佳，等．Ｇｅｏｇｅｂｒａ可视化辅助的电磁学习题教学［Ｊ］．物理教学探讨，２０２２，４０（３）：６９－７１．

［２］刘传宁．ＮＯＢＯＯＫ虚拟仿真软件在高中物理实验教学中的应用研究［Ｄ］.黄冈：黄冈师范学院，２０２３．

［３］万嘉誉．五款虚拟仿真软件在高中电学实验中应用的对比研究［Ｄ］．昆明：云南师范大学，２０２３．

［４］谭伟，杨珍珂，贾伟尧．利用ＭＡＴＬＡＢ ＧＵＩ仿真实验辅助中学物理电磁场教学［Ｊ］．物理教学探讨，２０２２，４０（4）：７０－７２．

［５］谢文海，张佳宁，杨硕． Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ在高中物理电磁学可视化教学中的应用［Ｊ］．物理通报，２０２３（１２）：１３９－１４３．

［６］邓文官，钟文虎，张殷，等．孤立导体电场线作图规范探讨［Ｊ］．广西物理，２０２３，４４（４）：１６－１９．

（栏目编辑    贾伟尧）

收稿日期：2024-02-27

基金项目：重庆市研究生教育教学改革研究项目“理工类学术研究生的多学科交叉融合课程体系探索”（yjg223035）。

作者简介：王明亮（1981-），男，中学一级教师，主要从事初中物理教学和研究工作。