文 陈 卓
角是几何图形中非常重要的元素。在证明两条直线互相平行的位置关系、全等三角形的判定、相似三角形的判定、三角函数等数学知识中都会涉及角。圆的性质和对称的特征,赋予以圆为载体的角较强的灵活性,使得这些角能够灵活地互相转化。
例1(2020·山东聊城)如图1,在⊙O中,四边形OABC为菱形,点D在上,则∠ADC的度数是________。
【分析】根据菱形的性质得出∠B=∠AOC,根据圆内接四边形的性质得出∠B+∠D=180°,即可得出∠D+∠AOC=180°。根据圆周角定理得出∠AOC=2∠D,即可求得∠ADC=60°。
解:∵四边形ABCD内接于⊙O,
∴∠B+∠ADC=180°。
∵四边形OABC为菱形,
∴∠B=∠AOC,
∴∠ADC+∠AOC=180°。
∵∠AOC=2∠ADC,
∴3∠ADC=180°,
∴∠ADC=60°。
【点评】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、菱形的性质,将圆中角进行灵活变化是解题关键。
例2(2020·山东青岛)如图2,BD是⊙O的直径,点A、C在⊙O上,,AC交BD于点G。若∠COD=126°,则∠AGB的度数为( )。
A.99° B.108° C.110° D.117°
【分析】根据圆周角定理得到∠BAD=90°,∠DAC=∠COD=63°,再 由得到∠B=∠D=45°,然后根据三角形外角性质可以计算出∠AGB的度数。
解:∵BD是⊙O的直径,
∴∠BAD=90°。
∵∠DAC=∠COD=×126°=63°,
∴∠AGB=∠DAC+∠D=63°+45°=108°。
故选B。
【点评】本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半。推论:直径所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径。
例3如图3,直线AB与⊙O相交于A、B两点,点O在AB上,点C在⊙O上,且∠AOC=40°,点E是直线AB上一个动点(与点O不重合),直线EC交⊙O于另一点D,则使DE=DO的点总共有________个。
【分析】我们要将点E分为在线段AB上(E在⊙O内)、在线段BA或AB的延长线上(E点在⊙O外)这三种情况考虑。再通过角度的计算,我们才能确定E点位置、存在的个数。
解:如图4所示,点E的位置有3个。
当是E1时,∠CE1O的度数为;
当是E2时,∠CE2O的度数为;
当是E3时,∠CE3O的度数为。
所以使DE=DO的点总共有3个。
【点评】弧是联系与圆有关的角的中介,“由弧到角,由角看弧”是促使与圆有关的角相互转化的基本方法。
例4如图5,四边形ABCD内接于⊙O,AB=AC,BD⊥AC,垂足为E。
(1)若∠BAC=40°,则∠ADC=________°;
(2)求证:∠BAC=2∠DAC;
(3)若AB=10,CD=5,求BC的值。
【分析】(1)根据等腰三角形的性质和圆内接四边形的性质即可得到结论;
(2)根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论;
(3)过点A作AH⊥BC于点H,根据等腰三角形的性质得到∠BAH=∠CAH=∠CAB,CH=BH,过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G,根据全等三角形的性质得到AG=AH,CG=CH。根据相似三角形的性质得到,设BH=k,AH=2k,根据勾股定理即可得到结论。
(1)解:∵AB=AC,∠BAC=40°,
∴∠ABC=∠ACB=70°。
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形,
∴∠ADC=180°-∠ABC=110°。
(2)证明:∵BD⊥AC,
∴∠AEB=∠BEC=90°,
∴∠ACB=90°-∠CBD。
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=90°-∠CBD,
∴∠BAC=180°-2∠ABC=2∠CBD。
∵∠DAC=∠CBD,
∴∠BAC=2∠DAC。
(3)解:过点A作AH⊥BC于点H,
∵AB=AC,
∴∠BAH=∠CAH=∠CAB,CH=BH。
∵∠BAC=2∠DAC,
∴∠CAG=∠CAH。
过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G,
∴∠G=∠AHC=90°。
∵AC=AC,
∴△AGC≌△AHC(AAS),
∴AG=AH,CG=CH。
∵∠CDG=∠ABC,
∴△CDG∽△ABH,
设BH=k,AH=2k,
∴AB=,
∴k=,
∴BC=2k=。
【点评】本题考查了圆内接四边形、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质。本题中对圆中角转化进行了较为综合性的运用,对理解知识点有很好的启发作用。