道是无圆却有圆

文 曹 阳

一、根据圆的定义构造圆

初中阶段的许多几何问题虽然看似与圆无关，但是若能结合题目的已知条件，找出与圆有关联的条件，借助隐圆或辅助圆，看透问题的本质，就能运用圆的性质予以解决。

例1如图1，在四边形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2，则BD的长为________。

【解析】如图2，因为AB=AC=AD=2，所以B、C、D在以点A为圆心，AB长为半径的圆上。延长BA交⊙A于点E，连接DE。由DC∥AB得DE=BC=1，再根据“直径所对的圆周角是直角”，所以在Rt△BDE中，由勾股定理得BD=。

例2如图3，菱形ABCD的边长为6，∠B=120°，点E在BC上，CE=2，F是线段AD上一点。将四边形BEFA沿直线EF折叠，B的对应点为B′，当DB′的长度最小时，DF的长为________。

【解析】如图4，由折叠可得EB′=EB，所以点B′在以点E为圆心，EB长为半径的圆上。当D、B′、E三点共线时（如图5），DB′的长度最小，此时易证DF=DE。过点D作DH⊥BC，垂足为H。由菱形的性质可以求出∠C=60°，DC=6。先在Rt△DHC中，求出DH=，CH=3，再在Rt△DHE中，由勾股定理得DE=，所以DF=。

二、根据定边对定角构造圆

【点评】根据圆的定义，我们首先观察出几个点到同一个点的距离相等，那么这里隐藏了一个圆；接着我们以这个定点为圆心，以这个距离为半径画出这个隐藏的圆，借助隐圆就可以快速求出角度或线段长度。

例3（2019·江苏南京）在△ABC中，AB=4，∠C=60°，∠A＞∠B，则BC的长的取值范围是________。

【解析】如图6，作△ABC的外接圆，当∠BAC=90°时，BC最长，为该外接圆的直径，求得此时；当∠BAC=∠ABC时，△ABC是等边三角形，此时BC=4；由已知条件∠BAC＞∠ABC，可得BC的长的取值范围是4＜BC≤。

【点评】本题考查了三角形的三边关系、直角三角形的性质、等边三角形的性质，作出△ABC的外接圆进行推理计算是解题的关键。几何最值问题探索性强、难度较大，其中有一类与隐圆有关的最值问题，越来越受到命题者的青睐，解决这类题较为有效的方式是追踪动点的生成过程，研究其运动轨迹。因为此题中AB=4（定边），∠C=60°（定角），所以点C的运动轨迹就是以AB为弦，定角为圆周角的弧。