指向“四个理解”的幂函数教学设计研究*

天津师范大学教育学部 (300387) 洪 梦 吴立宝

章建跃先生指出的“四个理解”水平是教师专业水平和育人能力的集中体现，是提高数学教学质量和效益的决定性因素，也是有效地提升学生数学学科核心素养的必备条件[1].可以看出，基于“四个理解”进行教学设计是必要的，也是可行的.对比人民教育出版社2019年版和2004年版高中数学教科书(A版)发现：幂函数从之前的《基本初等函数》中拿出且提前放到《函数的概念和性质》章节中，地位以及重视程度明显比原来提升了.基于此，本文就如何基于“四个理解”进行幂函数教学？研究进行指向“四个理解”的幂函数教学设计，解决幂函数课堂教学“教什么”和“怎样教”两个问题[2]，以供教师借鉴.

一、理解数学，明确教学重点

“理解数学，明确教学重点”是幂函数教学设计的首要任务.面向教学的数学知识模型由数学知识组块和学科教学知识组块组成，而在数学知识组块中教师对于数学的理解是关键[3].理解数学，是要把握数学内容的本质，特别是要深入理解内容所蕴含的数学思想和方法[1].教师要从一般观念下把握数学研究对象、内容、路径和方法，追求数学的整体性和方法的普适性.通过内容的分析，把握幂函数的本质，明确教学重点，思考初步的教学方向.

1．内容分析，把握数学本质

教师要从学科知识等视角分析教材，把握数学内容本质[4].《幂函数》选自2019年人教A版高中数学教科书必修第一册第三章第三节，是本章前两节《函数的概念及其表示》和《函数的基本性质》的延续、拓展和应用，也是后一节《函数的应用(一)》的基础，更是下一章研究《指数函数与对数函数》的示范，可以说本节课是前后数学内容的衔接，在高中函数内容的学习中具有承前启后的功能.

幂函数是一类最基本的、应用最广泛的函数，是进一步学习数学的基础[5].一方面，幂函数的基本体现在函数研究的内容、思路和方法.在幂函数的学习和研究过程中，蕴含着研究一类函数的基本内容；从研究函数的定义到研究函数的表示，再到研究函数的图象与性质，最后到应用函数解决实际问题，即定义、表示——图象与性质——应用的基本思路[6]；以及从代数运算和图象直观相结合的方式来研究函数的基本方法.另一方面，应用的广泛性既是数学的基本特征之一，也是幂函数的功能作用之一，即幂函数是解决简单实际问题的函数模型的构成要素.幂函数的内容中还蕴含着由特殊到一般、类比与归纳、数形结合等数学思想方法.

2．明确重点，思考教学方向

关于幂函数的定义和表示，教师可选择概念形成的数学概念教学模式[7]，即创设问题情境，提供概念例证，引导学生首先从情境中抽象出函数的解析式；其次抽象、概括出本质特点，即具有幂的形式、以幂的底数为自变量、幂的指数是常数；然后初步形成幂函数的概念；最后通过例题等进一步深化和运用.经历幂函数概念的抽象过程，体会数学概念学习的具体方法，培养和发展学生数学抽象核心素养.

创设情境[8]：

(1)如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜wkg，那么她需要支付p=元，其中p是w的函数；

(2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=，这里S是a的函数；

(3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V=，这里V是b的函数；

(4) 如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长c=，这里c是S的函数；

(5)如果某人ts内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度v=km/s，这里v是t的函数.

关于幂函数的性质，教师可以引导学生回顾初中一次函数y=x、二次函数y=x2和反比例函数y=x-1的研究思路，由直观的图象观察入手，并结合函数的“集合——对应说”概念和单调性、奇偶性等基本性质，从局部到整体进行研究.

二、理解学生，明晰教学难点

“理解学生，明晰教学难点”是幂函数教学设计的关键阶段.理解学生，就是要全面了解学生的思维规律，把握学生的认知特点.[1]对学生的已知未知以及能知想知进行分析，知道学生是如何学习的，才能了解学生的思维状况以及教学的起点和能够达到的终点.教师要从学生的实际学情出发，要对本班学生的思维水平和方式做到心中有数；明晰幂函数教学的难点，选择合理恰当的教学方法.

1．学情分析，了解思维方式

本节课之前，学生已经理解了函数的概念、表示法和基本性质，也已经熟悉研究具体函数的图象、单调性、奇偶性等基本性质的方法，具备一定的抽象、推理和运算能力，但对于研究一类函数的思路过程尚未形成框架和系统，并且此阶段的学生思维活跃，有强烈的好奇心理，勇于大胆的尝试，乐于动手体验，易于接受新挑战，但鉴于知识层次的限制，学生的抽象思维和逻辑推理能力仍然需要进一步提升和发展.

学习幂函数需要学生从5个具体的函数中归纳出其共性，并进一步抽象出幂函数概念，学生需要具备一定的观察和归纳能力、形象思维和抽象思维能力，这是通过适当的引导可以达到的.但是如何研究幂函数这一类新的函数的图象和性质对于学生来说还是比较困难的，学生一般局限于仅从代数运算或者图象直观一方面来研究，需要教师进行正确的引导和启发.

2．明晰难点，选择教学方法

三、理解教学，确定教学目标

“理解教学，确定教学目标”是幂函数教学设计的重点步骤.理解教学，就是要把握教学的基本规律，按教学规律办事.[1]在了解学生的实际学情，深入理解幂函数内容本质以及其中蕴含的育人价值的基础上，以数学知识和技能为明线，以数学思想方法为暗线，确定明确具体、可操作、可检测和可发展的幂函数教学目标，厘清教学的思路，促使学生的理性精神和数学思维方式得到潜移默化的发展.

1．教学分析，沟通知识联系

具有结构性的内容与教学的知识是有效教学的基础.根据教学重难点的把握以及教学方法和规律的认识，教师需要在数学知识内容体系中沟通与幂函数学习相关的知识.初中一般从图象直观角度来感知和研究函数，高中函数的概念及基本性质强调用严密的数学语言表达和代数运算证明来研究函数，这都为本节课的教学提供了参考.

2．确定目标，厘清教学思路

通过以上分析，将幂函数教学目标确定为：

①通过具体实例，体会幂函数概念的抽象过程，准确描述幂函数的一般特征，并掌握判断一个函数是幂函数的方法.

③通过例题的训练，深化对幂函数概念的理解，初步体验运用幂函数的概念、图象和性质解决问题，促进数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等数学学科核心素养的培养和发展.

首先，通过创设情境、结合具体实例，引导学生能够准确描述情境中5个幂函数的共同特征，经历幂函数概念的抽象过程，能够准确判断一个函数是幂函数；其次，以5个常见的幂函数为例，能够从代数运算和图象直观相结合的角度，了解和概括幂函数的性质，能够感悟其中渗透的数学思想方法；最后，通过例题的训练，能够深入理解幂函数的概念、了解幂函数图象和性质，数学学科核心素养得到一定的发展.

四、理解技术，精设教学过程

“理解技术，精设教学过程”是幂函数教学设计的核心环节.理解技术，就是要懂得如何有效利用技术帮助学生的学和教师的教[1].通过理解数学、学生和教学，确定了教学重难点、目标以及大致的教学思路，但是具体的教学过程该怎样设计呢？基于数学核心素养的高中数学教学应以问题为导向、采用问题驱动式的教学方式[9].理解技术，通过问题串的设计和现代信息技术的辅助，引导和启发学生正确的思考，从而突出教学重点、突破教学难点、达成教学目标.

1．问题设计，启发学生思考

问题1 请以x为自变量，y为因变量表示上述情境中的5个函数解析式，并观察这些函数解析式，它们有什么共同特征？

设计意图：引导学生将5个函数解析式变换成以x为自变量，y为因变量的形式，体会函数的本质是两个数集之间的单值对应，[6]而不同的符号或形式表示是非本质的.通过观察这些函数的解析式，归纳出它们的共同特征，经历数学概念的抽象过程，发展学生数学抽象的数学学科核心素养.

问题2这几个函数解析式虽然具有相同的y=xα形式，但是名称却不同，我们能否给它们起一个统一的名称？

设计意图：引导学生进一步感受5个函数解析式的共同特征，重新整合并给予特殊的一次函数y=x、二次函数y=x2、反比例函数y=x-1等以统一的名称，建立新、旧知识的联系[10].

设计意图:例1具有巩固新知的功能.[11]通过辨析判断以上5个函数，强化对幂函数概念的理解，掌握判断一个函数是幂函数的方法，并为后续学习指数函数做铺垫.

问题3 我们学过了哪些函数知识？并思考如何研究幂函数呢？

设计意图:联系学过的函数知识以及研究具体函数基本性质的思路过程，明确研究幂函数的视角和方法.

y=xy=x2y=x3y=x12y=x-1定义域值域单调性奇偶性定点

设计意图：通过小组合作，引导学生发现5种幂函数的定义域、值域不全相同，但定义域、值域都包括(0,+∞)，并且5种幂函数在第一象限内都有图象，即幂函数在第一象限内有意义，启发学生从代数运算和图象直观两方面进行探究.

设计意图:观察第一象限内5种函数的图象，发现α对5种幂函数单调性的影响，并通过代数运算进行验证，归纳出幂函数的性质1：在第一象限内，α>0时，幂函数y=xα在(0,+∞)上是增函数；α<0时，幂函数y=xα在(0,+∞)上是减函数，并利用信息技术直观呈现幂指数α对幂函数单调性的影响.

问题6 观察表中的奇偶性一栏，你有什么发现？

追问2：如果α既不是奇数也不是偶数，那么幂函数y=xα的奇偶性是怎样的呢？

设计意图：填表过程中学生对于5个幂函数的奇偶性已经有了一定的判断，以追问的形式引导学生进行代数运算，严格证明α对幂函数的奇偶性的影响，培养学生严谨的数学思维方式，并归纳出幂函数的性质4：当α为奇数时，幂函数是奇函数；当α为偶数时，幂函数是偶函数；反之未必.

问题7 从整体看这些幂函数图象有什么共同特征？

问题8 从幂函数图象在坐标系中各个象限的分布看，你有什么发现？

设计意图：通过前5个问题引导学生理解幂函数的概念，并发现幂函数在第一象限内的局部图象和性质；再通过问题6发现幂函数的奇偶性，从而根据幂函数的奇偶性和第一象限内的图象，进一步得出幂函数在平面直角坐标系内的整体图象；然后通过问题7和8，从整体上引导学生发现幂函数的性质5：幂函数的图象过定点(1,1)，以及幂函数的性质6：幂函数的图象不经过第四象限.

2．技术辅助，完善教学过程

信息技术的一个关键特征是运用数字、图形和符号，为抽象的数学理论构建一个直观、动态的模型[12].教师借助现代信息技术手段，帮助学生认识到幂指数α对幂函数图象的影响，以及归纳出幂函数的性质，突破教学难点和达到教学目标.

图1 图2

在问题5中，学生观察5个幂函数的静态图象，难以直观感知幂函数的图象变化规律以及幂指数α对幂函数的影响.利用GeoGebra动态演示幂函数在第一象限内的图象变化，直观感知幂指数α对幂函数曲线凸性等影响(如图1)，归纳出幂函数的性质2：在第一象限内，当α>1时，幂函数的图象在(0,+∞)是下凸的；当0<α<1时，幂函数的图象在(0,+∞)是上凸的；当α<0时，幂函数图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近；以及幂函数的性质3：在第一象限内，当幂函数的图象位于直线x=1的右侧时，幂指数大的，图象在上；幂指数小的，图象在下；位于直线x=1的左侧恰好相反.利用问题7和问题8引导学生观察图象的视角从局部转向整体，并借助GeoGebra软件给出5种幂函数的整体图象(如图2)，有利于学生发现和了解幂函数的性质5和6.通过问题设计和技术辅助，继续完善幂函数完整的教学过程，如下图所示.

数学教学要在综合考虑数学学科的本质、学生的认知水平和教学的一般规律的基础上，并结合信息技术的辅助，用数学的方式育人.指向“四个理解”的幂函数教学设计是有先后顺序、相互关联和影响的，并且“四个理解”共同组成教师教好数学、学生学好数学的前提，如下图为指向“四个理解”的幂函数教学设计关系流程图.其中，“理解数学，明确教学重点”是首要的；“理解学生，明晰教学难点”是关键的；“理解教学，确定教学目标”是重点的；“理解技术，精设教学过程”是核心的.

指向“四个理解”的幂函数教学设计也要注意：理解数学要从一般观念认识和指导数学学习与探究活动，把握其中的思想和方法.理解学生既要知道学生的已知未知能知想知，更要掌握学生是如何学的.理解教学要基于教学规律设置明确具体、可操作、可检测和可发展的教学目标，而不是空洞高深、难以达到的.理解技术最重要的是合理使用技术，能够突出教学重点、突破教学难点，而不是仅仅追求手段的多样性.只有充分理解这四个方面，并将其合理适当地融入教学设计，才能充分发挥数学的育人价值.最后需要说明的是，课标中虽然只要求理解5个具体幂函数的图象变化规律和了解幂函数，但是为了培养和发展学生的数学学科核心素养，促进学生数学思维方式的转变，对幂函数的性质做了适当引申，教师可以综合考虑本班学情，对此部分进行合理选择.