函数应用中的误区警示

张 楠

本文汇集函数模型及函数综合应用中的误区警示，希望引起同学们的高度重视。

误区1：求解函数零点的方法选择不当

例1判断函数f(x)=|2x|-3在区间[-1，1]内是否有零点。

错解：因为f(-1)=f(1)=-1，所以f(-1)·f(1)＞0，则函数f(x)=|2x|-3在区间[-1，1]内没有零点。

剖析：上述解法套用了函数零点的存在性判定定理，忽视了其前提条件。

正解1：当x ∈[-1，1]时，f(x)=|2x|-3≤-1，函数y=f(x)在[-1，1]上的图像与x 轴没有交点，即函数f(x)=|2x|-3在区间[-1，1]内没有零点。

警示：判断函数的零点个数，需要判断在给定区间上两端点的函数值的正负，若两端点函数值符号相反，再结合图像的连续性进行判断；若两端点函数值符号相同，需探究函数在该区间上的单调性，再利用函数图像进行判断。一般地，当不能直接求出零点时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无法判断时，可画出图像判断。

误区2：由函数零点求参数时忽视分类讨论

例2函数f(x)=ax-x-a(a＞0，且a≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是____。函数y=x+a，则函数f(x)=ax-x-a(a＞0，且a≠1)有两个零点，也就是函数y=ax(a＞0，且a≠1)与函数y=x+a 的图像有两个交点。

画出两个函数的图像(图略)。由图像可知，当0＜a＜1时，两个函数的图像只有一个交点，不符合题意；当a＞1 时，函数y=ax(a＞1)的图像过点(0，1)，而直线y=x+a所过的点一定在点(0，1)的上方，这时一定有两个交点。

故实数a 的取值范围是a＞1，即a∈(1，+∞)。

警示：函数的零点问题，常常化归为两个函数图像的交点问题求解。解答这类问题，合理分类和数形结合法以及函数思想的应用是解题的关键。

误区3：函数的零点的大小比较中忽视图像的作用

错解：所求问题可化为函数y=ax(a＞0，且a≠1)与函数y=x+a 的图像有两个交点问题求解。画出两个函数的图像(图略)，由图像易得a＞1。

剖析：当化为两个函数的图像有两个交点时，忽视了0＜a＜1的情况。

正解：设函数y=ax(a＞0，且a≠1)和

错解：没有理解m，n 的意义，不能得到正数m，n 的大小关系。

或者，胡乱猜测m＞n。

剖析：忽视特殊值法和图像法的作用。

正解1：(特殊值法)尝试m=3，n=2，这时适合方程2m+m=3n+n，则正数m＞n。

正解2：(数形结合法)设2m+m=3n+n=k，则2m=k-m，3n=k-n，于是m，n 分别为函数y=2x，y=3x，y=k-x 的图 像交点的横坐标。作出这三个函数的大致图像(图略)，注意指数函数图像的分布规律，易得m＞n。

警示：特殊值法判断是最优化的解法。利用一条直线与两个指数函数图像的交点，借助指数函数图像分布规律求解，凸显函数与方程和数形结合思想的应用。