小学数学手账的学理意蕴与实施策略

□范林伟 杨雅军

一、数学手账的学理意蕴

“手账”原指经常带在身边，用来记载心想、要做、怕忘的各种事情的小型笔记本。“数学手账”则是记录数学学习的载体。它在保留其原有的记录、计划功能之外，更加注重让学生运用多元的数学表征方式来记录在发现并提出问题、分析并解决问题时所经历的数学思考过程、获得的结果和探究体会。

数学手账由一系列账页组成，每张账页主要包含“我的问题、我的实践、我的思考”三大基本板块，力求全面呈现某个数学问题及其相应的探究过程。通常，数学手账具有如下特点。

（一）数学思考痕迹化

学生会把从确定问题、实施计划、调整反思到提炼经验等思考过程和思维轨迹全程记录下来。这种自然流露作为学生对学习过程的梳理与总结，能充分体现他们主动求知、积极探究、渴望知识和乐于创造的良好学习状态。

（二）数学思维可视化

为了将自己的所感、所想、所做全面地记录下来，学生在描述问题解决的过程时会运用多元的表征方式来表达自己的思维过程。这有效地促使学生将感性、初步的认识提炼为理性的数学经验和数学知识。

（三）数学方法多样化

学生在解决问题时会从实物或模型、数或形等角度来全面思考并尝试运用不同的数学方法来解答，进而不断丰富与强化自身对数学学习方法和学习方式的理解与运用。其间，他们还会使用个性化的表达方式将自己的思考表达出来。如学生在创作数学手账时会以问题为载体直接表达探究过程，也会以故事为载体间接表达探究过程，还会以知识树、思维导图、小课题研究的形式来展示自己的探究过程。

教学中，我们将数学手账划分为问学手账、固学手账和延学手账三类，分别在学生预习、回顾、整理、拓展等阶段使用，从而培养学生发现和提出问题、分析和解决问题、调整和反思以及创新实践等能力，使他们善于学习、乐于学习，从而爱上这种不一样的数学学习方式。

二、数学手账的教学策略

数学手账不仅能够“晒”出学生的思维困惑，“晒”出他们的思维方式，还能“晒”出他们的数学创造。教学中，教师可以根据教学的需要合理选择手账类型进行布置，这样既能引导学生学会用数学思维分析问题，又能提升学生的数学理解水平，还能借此诊断自己的教学效果。

（一）问学手账让学生学得有方向

爱因斯坦曾指出：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要。”学生在预习、在课堂上遇到问题时，可以及时地将它们记录下来，然后借助问学手账做深入的探究。这不仅能为学生的数学学习导航，而且还能使他们在提问的过程中学会提出问题的策略，掌握提出问题的方法。

如学习四年级“加法交换律和结合律”时，由于内容相对简单，教师就安排独立预学的方式，组织学生通过问学手账来记录自主学习的过程。有位学生清楚地将自己预习教材、举例验证、归纳总结的过程绘制下来，还借助“朝三暮四”的故事加以描述（见图1）。整页手账内容全面、主题突出，有序地展示了预习的过程和学习的成果。

图1

又如学习四年级“三角形的分类”时，有学生产生了如何分辨三角形的种类的问题。该学生带着预习时产生的问题进入课堂，然后根据课堂的探究过程，将知识回顾、探索发现、研究结论和自身体会描绘下来（见图2）。从账页可以看出，学生在问题的导向下，不仅知道了三角形按角分类的方法，还认识了直角三角形、锐角三角形和钝角三角形的特征，发现了这三者之间的共同点（每个三角形最少有两个锐角），而且还得出了“判断一个三角形关键看它三个角中最大的角是什么角”的方法。

图2

（二）固学手账让学生学得有质量

古语云，温故而知新。在日常的知识回顾、优化提升或单元整理时，教师可以组织学生创作固学手账，以此来整理和归纳新知与技能，促使学生在数学问题的解决中熟悉解决问题的策略与方法，学会举一反三，提高数学运用与数学理解能力，起到固本强基、拓展思维的作用。

如学习三年级“24时计时法”时，教师为了巩固学生对12时计时法与24时计时法之间换算的认知，促进学生对计算经过时间的方法的理解，组织学生绘制了固学手账。从学生作品（见图3）中可以发现，该生在解决问题时既借助了直观的时间尺模型来帮助思考，又使用了两种不同的方法来解决问题。这种“你知道吗”的表现方式生动地展示了学生对计时方法的理解与感悟以及熟练运用知识解决问题的自信心。

图3

再如学习四年级“观察物体（二）”时，有学生为了让自己清晰地回忆数图形的方法，将操作演示的思考方法淋漓尽致地记录成数学手账（见图4）。

图4

从账页中可知，该学生为了数出这个组合体中小正方体的个数，将隐藏在内部的实际构造绘制出来，从而确定了所用正方体的具体数量。在这一过程中学生不仅解决了问题，学会了有序思考此类问题的思维方式，而且有效地提高了自身观察、操作、想象、分析与推理的意识和能力。

又如学习三年级“两位数乘两位数”后，有学生产生了要研究“11的速算”的想法。其间，他通过列举以及对竖式结构的分析，发现了它们的共同点，明确了“与11相乘”的规律（见图5）。最后，他还真切地提出“数学是一门有趣的学科，我们要善于发现问题，提出问题，大胆猜测，通过实践来验证猜测，一定能解决问题”。这样的探究不但强化了学生灵活运用“猜测—举例—验证”的思想方法，还使他们品尝了成功的喜悦，感受到数学的无穷魅力。

图5

（三）延学手账让学生学得有趣味

为了激发学生的探究兴趣，拓宽学生的学习视野，发展他们的数学眼光和用数学解决问题的意识，教师还可将数学手账延伸到课堂之外，全面拓宽学生数学学习的广度和深度。

如一年级学生学习“找规律”以后，教师可引导学生通过举例、验证的方式对“开关问题”进行探究，进而得到结论，并且最终发现有关奇偶数计算的规律。一学生借助列表法有序地将自己是如何进行归纳推理的过程描绘了出来（见图6）。从“调皮的单数、双数”这一主题，我们也可以看出该学生在解决这个问题的过程中心中肯定充满了期待和探究的兴趣以及得出结论时的那种喜悦感。

图6

又如学习四年级“三角形内角和”之后，有学生自发探究了“图形内角和的秘密”。该学生在三角形内角和的基础上利用分割法依次研究了四边形、五边形和六边形的内角和，最后通过数学推理明确了n边形的内角和的求解方法为“180×（n-2）”。他完整地将“我的问题、我的实践、我的反思”记录成了一页手账（见图7）。他坦言：“数学中解决问题的方法可能有很多，但我们要寻找更快捷、更简便的方法。”可见，他不仅感受到了数学公式的简洁美，还体会到了数学学习的真正乐趣，也享受到了解决问题带来的成功感和自信心。

图7

总之，根据教学的需要合理选择数学手账的类型，能有效地促进学生内化知识，掌握技能，使他们学得有方向、有质量、有趣味、有活力。