数学手账：小学生学力生长“深度激活”路径*

□朱术磊

数学手账，意指学生基于自身的学习经验用数学语言、数学情境或模型来叙述、描绘数学内容，记录思维痕迹的一种个性化学习载体。教师借助“数学手账”这一学习载体，引导学生经历“深度激活”的数学学习过程，以此来促进学生学力的生长，具体路径如下图所示。

一、眼中有光：梳理型“愿学手账”的知识习得反省路径

梳理型“愿学手账”，是指学生在教师的引导下，将学习中获得的数学知识点进行梳理、记录并展现出来。这也是学生对学习过程进行回顾、对学习策略进行运用、对学习结果进行自我检验的反省过程，从而在数学学习中发展自我反思能力。

（一）我学了什么——从教师驱动走向“自主回顾”

数学基础知识包含定义、性质、特点、应用等，小学生对数学基础知识框架越清晰，整理越详细，记忆就会越清楚，理解也会越透彻。在梳理型“愿学手账”的制作中，教师要引导学生用自己喜欢的方式去梳理在数学学习中习得的知识，鼓励学生对知识进行“自主回顾”，来反思自己的学习。

（二）我是怎么学的——从教师纠错走向“自行检查”

教师可指导学生运用符号、图形、语言等多元表征方式将所学知识记录下来，以促进知识技能的内化。学生需要对自己的学习过程进行“自行检查”，将自己的反思过程记录在“我是怎么学的”一栏中。通过这样的活动，学生不仅提高了学习数学的有效性，也了解了自己在学习数学时的状况。

（三）我学得怎么样——从教师反馈走向“自我检验”

学生可以将自己的学习过程、学习方法、学习结果等通过多元表征的学习路径在数学手账中表达出来。如一名二年级的学生在学习“平均分”前，通过“前置性学习”对自己的疑惑进行了梳理，提出“什么是平均分”“平均分可以怎么分”“平均分的两种方法是什么”等问题。而后，该生通过课堂中的学习，对这一内容进行“二次认识”并对自己的学习结果进行检验。学习中学生是学习的主人，整个过程都是学生在规划学习。

二、手中有思：体验型“慧学手账”的技能发展反思路径

在运用“数学手账”进行学习的过程中，要避免流于形式，真正做到激活学生的思维，引导学生成为数学学习的“慧学者”。

（一）我问得对吗——从自我设疑走向“生生互思”

在教学中教师往往会发现学生提出的问题“五花八门”，也有学生不会提问也不想提问。通过“慧学手账”这一体验型数学活动的开展，学生逐步形成了相应的问题意识，并慢慢开始提出“好问题”。一位学生在“A4纸的魔力”项目学习中提出了这样的问题：在A4纸上剪出一个大洞，能让几个大人穿过去？学生先做了自我评析，在此基础上与同学进行分享。通过“生生互思”，学生提出问题：如果直接在这张纸上面剪出最大的洞的话，那肯定一个人都钻不过去，而边上也很容易断开。不管把这个洞剪成什么形状，人都穿不过去。该怎么办呢？他们决定去查资料。

在这一学习活动中，学生的疑惑、思考等都是在自我评判的基础上形成的，这样的学习体验让学生的操作活动具有了“灵魂”，并不是为了操作而操作。

（二）我做得对吗——从自我评析走向“生生互解”

在实践中学生先进行“自我判断”，判断自己做得对不对，并与同学分享，通过多次实践、反思、分享，最终解决问题。如在上述“A4纸的魔力”项目学习中，学生在“数学手账”中这样描述：第一步，先把A4纸对折，并在折痕处每隔2厘米做好标记，在另一边也用同样的方法做好标记，两边的标记互相交叉；第二步，沿标记处剪开，但两边都不要剪到头；第三步，将折痕处剪开，两端保留，最后小心翼翼地将纸摊开。完成后，我竟然真的钻了过去！但两个人还是不行，我试着把2厘米的间隙剪成1厘米，两个大人也能钻进去了。

学生通过体验型“慧学手账”，将自己在学习中的反思体会与同学进行分享，使反思性学习从自我评判走向“生生互解”。在这样的学习过程中，学生不仅逐步改进了探究策略，更重要的是体验到了学习的乐趣。

（三）我想得对吗——从自我研判走向“生生互评”

在实践成功后，学生再次进行反思：纸上的每一根线条都构成纸环周长的一部分。每多一条线，圆环就多出一段。因此，纸条数量越多，A4纸的周长就越大，形成的纸环就越大。剪的时候，两个相邻的距离越短，纸环就越大（如下图）。

通过体验型“慧学手账”的教学活动，学生在多样的评判中，对实践的过程及结果进行反思并与同学分享，在同学的评判中再次修正，从而完善自己的实践。

三、胸中有问：研究型“智学手账”的思维发展觉醒路径

数学学习要想走向深入，就得发展学生的数学基本思想，促使他们成为勤于学习的“智学者”。

（一）我的问题——从自我设疑走向“深思细问”

学生在对自己的数学学习结果及过程进行判断时，有的会认为很满意，而有的会认为自己的学习还存在一定的问题，这就需要学生养成“深思细问”的学习品质。如一名六年级的学生在“自行车里的数学”手账中提出了这样的问题：今天我得到一辆新的自行车，我脑子里立马浮现出学过的圆的周长的知识。这辆自行车蹬一圈究竟能走多远呢？是车轮一圈的长度吗？它与什么相关联呢？

学生通过这样的学习，逐步形成主动觉察问题的意识，并对问题进行分析。由此学生不仅发展了数学基本思想，更会在今后的数学学习中对某一个或某一块内容保持持续的学习兴趣。

（二）我的感受——从自我评析走向“深想细究”

仍以上述“自行车里的数学”手账为例，学生在提出问题后再次进行思考，激发深度研究的热情。该生在手账中这样记录：根据这个问题，我开始了思考，计算蹬一圈的路程，但测量出来的数据是6.5米、5.7米、8.8米。每次都不一样，我心想。所以这种方法是不准确的。

学生借用“数学手账”这个载体，把自己研究时的感受记录下来，这也是学生进行问题觉察的一种途径，为下一阶段的数学学习奠定了良好的基础。

（三）我的改变——从自我研判走向“深明细解”

还是在“自行车里的数学”项目学习中，通过前期的疑问与思考，学生觉察到自己的学习结果存在问题。该生发现：车的前齿轮有26个齿，后齿轮有16个齿，车轮直径为66厘米。经过计算得出，蹬一圈大约337厘米。学生又换一辆较大的自行车进行研究，数据为前齿轮48个齿，后齿轮20个齿，车轮直径为70厘米。蹬一圈的距离为528厘米左右。学生通过多次改变研究对象，最终得到结论。下图是学生制作的“自行车里的数学”手账。

由此可以看出，学生的问题是基于生活实践的问题，这是发展学生数学思想最关键的一环。学生基于自己的问题进行猜测，继而通过学习到的数学知识来验证，形成结论。学生在这个过程中感受到数学的力量，感受到数学就在我们身边。

四、心中有爱：创新型“善学手账”的经验积累转化路径

学生要做到善于学习，就要将积累的数学学习经验进行转化，因此，在“数学手账”项目学习中，教师应引导学生进行创新型“善学手账”的梳理，促使学生真正从“经历”走向“经验”，从而培养学生的自由独创力。

（一）我的思考——从“深思细问”走向“意义转化”

在数学学习中，教师除了需要关注既定的概念与定理的讲解，让学生在深度理解之后能加以灵活应用之外，还需要引导学生将这一定理与概念转化为新情境的应用。如学生在探究“镜子里的奥秘”时，一般都会对实物进行研究，比如“我”怎么做，镜子里的“我”也怎么做！但一名学生是这样思考的（如右图）。

学生无形中对“镜子里的奥秘”开展了深度探究并进行了意义转化。

（二）我的实践——从“深想细究”走向“情境变换”

从以下手账记录中可以看到，学生从对“实物情境”的研究转化到了对“数字情境”的研究，逐步形成了转化的意识。通过类似的尝试，学生在不断的转化过程中，形成转化的自觉性，并且能够创造性地应用学过的知识来解决问题，这也是学生高阶思维能力发展的有力举措。

（三）我的结论——从“深明细解”走向“创造思考”

从以上研究结论可以看到学生创造性思考的痕迹，也让我们更加深信通过创造型“善学手账”的梳理，学生定能在数学学习中成为“心智自由”的“善学者”。

“数学手账”得到了家长、学生、教师的好评。它不仅提高了学生学习数学的有效性，也为学生数学学习增添了“深度探寻”的兴味。教师通过“数学手账”这一载体，能转变学生学习数学的方式。在学习中，教师更清楚地掌握学生的“学”，学生更清楚地理解教师的“教”。它能促进学生经历有意义的数学学习，优化学生对“数学知识”的建构，为教师的教学提供新的思路，也为学生的学习开拓新的路径。