数学学习中知识的迁移

王泓权 王宇

摘 要：初等数学与高等数学在研究内容、学习方法上的差异，初学者如何处理好高等数学时的过渡显得尤为重要。通过5道证明题的解题思路，以“具体与抽象的辩证关系”“创新思维”为切入点，从中研究了知识迁移在学业过渡阶段所起的作用，探討了以学生角度运用知识迁移作用的意义、促进迁移效果的方法，阐述了掌握抽象与具体的辩证关系需要知识迁移理论的支撑，提出了同化性迁移对于创新思维的引导。

关键词：初等数学;高等数学;过渡;迁移

教育心理学所研究的学习迁移特指前一种学习对后一种学习的影响或者后一种学习对前一种学习的影响。

初学高等数学时，能够处理好初等数学与高等数学的衔接问题和知识的过渡可以为后续的进一步学习做好准备。高等数学可以给初等数学的诸多定理合理地解释，同时高等数学又离不开初等数学作为基础，笔者通过一道定理证明的5个互相关联的证明方法解释“具体与抽象的辩证关系”“创新思维”阐述知识的迁移作用在数学学习中的重要意义。

一、具体到抽象——顺向正迁移

题目：求证球体的体积公式：V球=4/3πR3

证明1：（中学知识证明）

已知半径为R的球体的表面积公式为S=4πR2，在球表面随机取一块面积尽可能小的区域，区域面积设为s，因为面积尽可能小，所以可以将曲面近似看作是平面，以该区域为底面积，到球心的距离为高（高近似为R）的立体图形可以看作一个底面积为s，高为h的椎体，其体积为1/3Rs，在这整个球体的表面一共取了这样n个小区域，有S=ns，所以整个V球=nV锥=1/3Rns=4/3πR3

证明2：（二重积分）

相比于证明2，证明1中使用的中学证明的方法相对来说更加易于被中学生所理解。中学生的抽象概括能力有一定的局限性。在证明1中，积分区域是具体可视的球体。解决方法是分割法，物体的体积无法整体计算时就将其分割成小块物体计算体积，而后求和。解法类似于切蛋糕，形象具体。这是学高等数学之前能够掌握的方法。而证明2中的解法是积分，以二重积分作为工具，同样运用证明1中的切割组合的方法进行计算。积分的推导过程就是先无限分割，再把这无限多份求和。

这种学习方法体现了正迁移的效果，正迁移是指一种学习对另一种学习起到积极的促进作用。在知识的迁移作用下，我们知道证明2中运用到的微积分类似于“切蛋糕问题”，更是拓展引申。迁移作用拉近了学生和新学知识的距离，激发了学生学习的欲望。

数学是一门严谨、缜密的学科，前后知识相辅相成。那我们作为学生如何利用好正迁移来帮助自己的数学学习呢？

（1）积极的学习态度是有利于知识的正迁移。斯卡特金主张“情感教育”，他说过：“教育效果取决于学生的学习兴趣。”只有学生有了兴趣，不去畏惧那些定理和规律，会积极主动地去探求、去思索、去学习。然而培养积极的学习态度不是老师或者家长同学能决定的，自己能够心无旁骛地去学会发现，学会利用简单概念去尝试理解复杂概念，就能够找到学习数学的信心。

（2）把握章节的连贯性，抓住相同要素在不同章节之间的联系和差异，善于观察课后习题和课上例题之间的相同要素，过仔细琢磨老师讲解例题时使用的方法、定理来解决课后习题。比如证明中定积分、二三重积分在计算时都需要定限，可是定限又有不同，是简单的数字定限或者是画图看投影定限，其中各自都有他们的差异点和相同点。

（3）培养抽象能力，数学所包含的抽象有解题方法的抽象，理论的抽象，符号的抽象。抽象能力是能够把具体问题抽象成可以进行运算的式子。培养抽象能力有助于培养创新性思维和概括能力，使得面对问题时会主动进行思考分析，促进知识迁移的实现。

在数学学习中从具体到抽象是一种最基本的思维形式，也是数学研究的基本方向。顺向迁移包含着从抽象到具体的思维方向，积极有效地顺向迁移就是顺向正迁移，我们应当正确认识、把握利用这种积极的学习影响作用，才能够有效防止负迁移，提高学习效率。

二、抽象到具体——逆向正迁移

数学中的抽象能力最终将归属于具体，因为解决具体问题、应用于实践才是数学研究的最终目的。在学习高等数学的过程中，仅有能力把具体转化为抽象，感性认知转化为理性认知是不够的。

学生在学习数学方法时（以证明2—4中的微积分应用为例）如果能清楚地了解这样的定积分、多重积分能够解决的实际问题、它们的几何意义，掌握每个符号的具体含义，例如：（1）证明3中，定积分的几何意义是求坐标轴和被积函数所围成的面积，题目是求证球的体积公式。所以定积分的旋转体体积公式是将二维图形转化为三维图形的工具。（2）证明2和4中，二重积分的几何意义是投影面和积分曲面所围成的体积。三重积分的几何意义是求积分区域的体积。（3）不仅如此，重积分还可以应用在物理实际问题上，比如求磁通量、冲量。

经过这样具体的说明，学生就能够进一步理解微积分这个概念。同时得知微积分这个工具可以用来解决诸多的问题，提高了学生学习的动力。

这种把抽象化作具体的能力便是运用到了逆向正迁移。经过校园统计有部分学生在学习了一段时间的微积分之后甚至不知道微积分的用处，没有把微积分当作解题工具，而仅仅是为了学习微积分而去学习。学生在学习微积分的时候去将其与具体的、易于理解的内容联系起来，就可以增加学生的学习效率。逆向迁移能够使得已经掌握的经验、知识构架得到补充。以下是笔者的两点建议：（1）善于将新学习的抽象概念和知识点与已经学习过的简单具体的概念联系起来，加深理解。（2）定期做知识点、概念的总结，了解课本内容中的知识结构。（3）老师讲课时一般会用较为简单、具体的语言来解释较难理解的内容，所以上课听讲比课后自己吸收相对容易简单。

在学习时，学生常常偏重于顺向迁移，忽略逆向迁移。按部就班地学习模式不会提高学习效率。我们既需要顺向正迁移的发生，也要逆向正迁移的发生。

三、创新思维——同化性迁移

证明5是利用证明2中二重积分的方法来解证明3中三重积分的题。对于求球体的体积来说，证明5的方法显得复杂。然而，对于一些不易画出立体积分区域或是定限容易出错的题，使用这种方法即可避免画积分区域这一步骤。我们探索后得知在求三重积分的题目时，不一定就要按部就班地直接解题，仍然可以运用已经学过的知识和创新思维来解决新的问题。

证明5中仅用二重积分的知识解决三重积分的题目便属于同化性迁移。同化性迁移是不改变原有认知的前提下，将已有的认知经验应用到本质相同的新事物上或将其添加进原有的知识结构中。

同化性迁移整个过程分为三个相辅相成、前后关联的步骤：（1）了解题目的条件和问题，对题目的情境和性质进行初步的认知。（证明5中的已知条件和求解问题都相对于简单。我们在这里将积分区域Ω假设成不易画出的立体图形;问题是求其体积。）（2）将已有的认知、经验与将要求解的题目相联系的过程。（在不画出立体图形的前提下，探讨如何将已有的知识构架和题目结合起来。）（3）分析迁移题目和可用的经验知识，探究它们的共有特征，进一步分析共有特征对于解题的帮助。在适当的题目变化之中，构造与原知识系统相对应的解题过程。（想法1：二重积分的几何意义也可用于求体积。想法2：看所求体积是否关于坐标轴对称，若对称还可以用定积分旋转体体积公式。）

迁移并非都是一次完成的，有时需要反复尝试，反复熟练。三个相关联的步骤一般也是反复、交叉的，主动地探究问题比接受老师的“灌溉”更有利于培养创新意识。学习上的主动积极也不是仅凭老师的一己之力就能调动的，反复地去体会“遇到问题-思考问题-解决问题”这一循环，将促进学习上的迁移效果、培养思维以及锻炼能力。

四、结论

知识迁移是数学学习过程中重要的现象之一，也是将“目标知识”转变为“内化知识”的有效途径。初学高等数学时，充分利用知识迁移这一规律将有利于适应从中学的“大众数学”到“高等数学”的过渡、提高学习能力，培养创新思维。

参考文献：

[1]华东师范大学数学系.数学分析（下），高等教育出版社，2011.

[2]颤俐.浅议解决数学教学具体与抽象概括的辩证关系.柳州师专学报，2000-6，15（2）.

[3]张忠海.注重学生知识迁移 提高数学教学效果.桂林师范高等专科学校学報，2005-6，12（2）.

[4]许洪武.运用教育心理学原理开展数学教学的尝试.广西师范学院学报，2007-7，28专刊.

作者简介：王泓权（2000—），男，汉族，江苏盐城人，2018级数学与应用数学专业本科生，研究方向：数学教育;王宇（1976—），男，汉族，陕西岐山人，硕士，讲师，主要从事课程与教学论（数学学科）。