数学单元教学中学材再构建的途径

羌达勋

摘要：指向核心素养的数学单元教学，摒弃了基于知识点的教学方式，倡导大观念、大主题、大单元统领下的教学内容重组，是课堂教学的应然追求。基于“学材再建构”理论，以知识逻辑结构、核心数学概念、认知方法体系、数学思想方法组织学材建构单元，为单元教学设计提供了有效路径。

关键词：单元教学设计;学材再建构;教学设计

党的十九大明确提出：“要全面贯彻党的教育方针，落实立德树人根本任务，发展素质教育，推进教育公平，培养德智体美全面发展的社会主义建设者和接班人。”育人的总目标落实到学科上，即为培养学生的学科核心素养。指向核心素养的单元教学，摒弃了基于知识点的教学方式，倡导大观念、大主题、大单元统领下的学材再建构，这既是学科核心素养落地的自然需求，也是课堂教学的应然追求。

一、数学单元教学的内涵与特征

数学单元教学是指基于一定的目标与主题，以教材为基础，从数学内容的整体性、学生学习的整体性和学生发展的整体性出发，对内在关联性强、共同特征多的数学内容進行整合和重组，以单元为单位进行整体策划和整体设计，以实现整体大于局部之和的教学效果。

数学单元教学要求教师基于学科素养，以教材为基础，从知识的整体和结构入手，用大观念统领全局，用系统论的方法对教材中具有某种内在关联性的内容进行分析、重组、整合，围绕大主题，通过真实情境与任务介入，设计、组织、开展大单元教学。数学单元教学的特征为大观念、大主题、大单元。所谓大观念就是改变以往教学目标的“平均用力”，以突出的、具有统领作用的数学观念为整个单元教学的达成目标，指导教学内容划定与整合;所谓大主题就是改变以往教学课时的“相对孤立”，以鲜明的主题背景为单元教学的主线，主导教学各环节的开展;所谓大单元就是从发展数学核心素养的视角，对相关教材内容进行整合、重组、优化，以突出内容主线以及知识间的关联性，形成相对独立的数学整体教学内容[1]。

指向数学核心素养的单元教学设计既能微观聚焦于具体模块知识的价值与功能，又能以全局大视野统整数学知识、观念与过程，实现课堂教学与学科素养发展的对接。

二、“学材再建构”理论对数学教学的要求

著名特级教师、“自学、议论、引导”教学法创始人、南通市启秀中学数学老师李庾南提出的“学材再建构”理论对于指导开展数学单元教学具有现实意义。“学材再建构”是从知识的整体性和系统性的视角对数学学材进行整合、重组而进行的单元教学的建构[2]。其中学材指学习材料和学习资源，具体为教科书、教辅资料或与数学学习相关的一切信息资源，包括学生学习数学的基本经验积累和学习体验。“学材再建构”要求数学教学不能“照本宣科”，必须以课程标准为基准，以教科书为参照，以教学对象为依据，以学生最大发展为旨归，重新建构学材，源于教材，高于教材[3]。

1.    源于教材

教材为教师提供了许多素材，在教学设计中要利用好教材。源于教材不是“教教材”，而是“用教材教”。“教教材”突显的是学为教服务，往往只是照本宣科，教师被动地教，学生也被动地学;“用教材教”突显的是教为学服务，教师根据学情创造性的对教材内容“消枝强干”，优化教学设计，提高教学目标的达成度。如“函数的单调性”一节教学中，单调性概念生成过程及概念是“强干”，有利于学生对单调性概念的深刻理解。单调性的证明可以适度“消枝”，因为在以后的学习过程中，通过幂指对等具体函数的学习，这一技能还可以得到加强。

教师要充分挖掘教材中的素材，寻找学生熟悉的生活情景作为切入点进行教学，使现实生活与数学内容更贴近，从而培养学生的学习能力。源于教材而不拘泥于教材是进行“学材再建构”的前提条件。

2.    异于教材

教材是根据课程标准编写的供教学使用的主要资源。无论什么版本教材的编写，都体现了编写者的智慧，但由于学生的差异和教师教学实施的水平与理念的不同，要想更好地提高教学效果，教师必须创造性地使用教材，而不能一成不变的照搬硬抄。

教材只是一种“文本”，它的容量和表现力是有限的，在教学过程中所需的素材不一定能在教材中体现出来，需要教师认真研读教材，在教学设计中适当地进行补充和调整。

异于教材不是挖空心思改编教材，替换内容甚至舍弃教材，而是从教材中更多地挖掘编写者所要表达的含义。异于教材而不偏离于教材是进行“学材再建构”的准绳。

3.    高于教材

一堂课的成败，很大程度上取决于能否处理好教材中的重点、难点和疑点。教师要认真分析教材，把握教材的基本框架和基本内容，遵循知识发生发展的规律，注重新旧知识的联系与呼应，从关注学生生命的高度，大胆对教材内容进行调整组合，创造性加工、拓展与升华，即进行学材再建构，使教学内容生成学生丰富多彩的内心文化世界和心智结构。

“学材再建构”要求教师不能完全按照现行教材按部就班地进行教学，而应该在充分理解吃透大纲教材的基础上，遵循“源于教材、异于教材、高于教材”的原则。高于教材的“高”，不是无限制的拔高，拔高的标准要结合课程标准和学生的实际情况。高于教材而不夸大教材是进行“学材再建构”的基本思路。

三、数学单元教学的学材再建构

单元教学设计是教师专业化的重要体现，它要求教师站在学生的立场，基于学科素养的视角，对学生围绕某一单元学习内容开展的完整学习过程所做的教学过程设计。单元教学设计要研读包括教材文本、逻辑结构、内在联系、课程要求、学生认知准备等一切与学习有关的学材，进行学材重组，建构单元教学内容。

1.    以知识逻辑结构组织学材建构单元

教材的编写总是遵循知识的逻辑结构和内在联系的。研读教材及相关材料文本时可以结合对应课程标准的相关要求，厘清知识的逻辑结构后组织学材。一般来说，一个完整的知识单元可以分成本源型知识、概念型知识、程序型知识、默会型知识。本源型知识是指知识发生、发展的背景知识，包括问题产生的背景与现实意义;概念型知识是指奠基本单元知识基础的最基本的概念等;程序型知识是指在知识形成过程中包括法则、方法、思路等在内的基本技能、思想、方法;默会型知识是指通过单元知识的学习而形成的只可意会不可言传的数学素养。“默会知识”是由匈牙利裔英国哲学家波兰尼在1958年首先在其名著《个体知识》中提出的。它是相对于显性知识而言的，是一种只可意会不可言传的知识，是一种经常使用却又不能通过语言文字符号予以清晰表达或直接传递的知识。依据以上四种知识类型组织学材，对应的课型可以为章节起始课、新授知识课、习题课、复习课。章节起始课侧重挖掘新知的本源;新授知识课注重新知形成过程，即基本知识、基本技能背后的学科思维;习题课突出用基本知识结合正确的思维方式解决基本问题，并达到熟练;复习课则着力基本知识、基本问题、基本方法和基本思维的综合运用，其中章节复习课要求整体把握、厘清思维、形成学科素养。

例如，教授“平面向量”时教师可以这样组织学材建构单元：（1）通过对力、速度、位移等已有知识的研究，了解向量概念形成的“本源”知识，认识到向量生成的必要性。（2）通过对实际问题的数学抽象，建立向量概念及其相关辅助性概念（如零向量、单位向量、向量的模等）;研究向量的表示（几何表示、符号表示、坐标表示）;研究向量之间的关系，包括向量模的大小关系、向量的位置关系（如平行向量、共线向量、向量的夹角等）。（3）建立向量各种运算的运算法则，研究它们的运算律，并运用向量知识解决问题。（4）从学科素养的视角，整体把握向量知识体系，厘清思维、方法、思想，梳理向量的概念、运算、应用，建构知识系统，促进学生数学素养的形成。

以知识逻辑结构组织学材建构单元是在整体把握教材的基础上，从知识逻辑结构的视角，把握知识的系统性，对知识进行重组、整合形成相对完整的教学单元。这样，教师在教学中可以避免关注课时规划、注重细节处理而忽视知识的整体性与系统性的情况发生，学生在学习中可以避免因知识碎片化而造成的“只见树木不见森林”、知识不系统的现象。

从知识逻辑结构的视角研究课程，组织学材，关注知识间的内在逻辑，使得相关知识形成一个完整的知识链条和结构体系，有利于发展学生的数学核心素养。

2.    以核心数学概念组织学材建构单元

李邦和院士指出：“数学的根本是数学概念。”数学核心概念是数学知识大厦的基石，是数学思想和方法的载体，是数学教学的核心与基础。以核心数学概念组织学材建构单元，学生在经历概念形成、发生、发展的过程中，理解数学知识之间的联系，更好掌握核心概念，理解核心概念。

例如，“函数的单调性”是高中数学课程的核心概念之一，函数单调性的研究是高中数学课程展开的一条主线。与函数单调性有关的内容有函数概念、函数性质、初等函数、三角函数、数列、不等量关系、导数及其应用等，它们分散在不同的章节中。教师可以依据函数单调性这一核心概念，将这些看似关联性不够强的内容纳入大单元的视野，通过对教学内容的重组和课时规划组织学材，建构一个跨章节知识的主题单元，即函数基本性质→初等函数单调性→三角函数单调性→数列的单调性→不等量关系→用导数研究函数单调性。其教学设计和方法如下：（1）通过数学情境建构单调性概念，并掌握证明方法（小组讨论、合作学习、限时讲授）;（2）初等函数与三角函数的单调性及应用（自主预学、交流展示）;（3）数列和不等量关系中单调性及应用（自主探究、合作交流、限時讲授）;（4）函数单调性与导函数的关系，利用导数来研究函数的单调性（合作学习、交流展示、限时讲授）;（5）函数单调性的专题复习（自主学习、合作学习、交流展示、限时讲授）。

以函数的单调性为主题来进行单元教学设计，改变了学科知识点的碎片化教学，真正实现教学设计与素养目标的有效对接。学生对函数单调性的理解不断加深、融会贯通，有利于学生对知识体系的深层建构和高阶思维的养成。将自主、合作、交流、展示、探究等学习方法与单元教学设计整体化的融为一体，对于调动学生学习的主动性，提升学生的学习能力具有重要意义。

3.    以认知方法体系组织学材建构单元

数学教育不仅让学生学会数学知识，更重要的是让学生学会获取知识的方法与能力。学生的数学学习过程往往是获取新知→感悟理解，建构知识体系→迁移拓展，探索更新知识→反思完善，进行学习探索。

例如，在圆锥曲线的学习和研究过程中，有不少性质和结论，这些性质和结论对解析几何学科本质的理解和数学素养的提高十分有益。为此，教师可以设置数学探究活动单元“圆锥曲线性质的探究”。单元设计如下：第一步，开题（方法指导），以一道习题（高考题）为例，给出问题拓展探究的一般方法（1课时）;第二步，选题（自主分析），让学生从已经做过的习题、试题中选择问题（学材），进行拓展探究（发现问题，提出问题）（2课时）;第三步，做题（合作交流），以小组为单位，交流展示、合作讨论各自的“选题”成果（分析问题）（2课时）;第四步，结题（总结提升），小组展示研究成果，师生共同梳理并整理相关性质和结论，教师引导学生反思问题本质，如仿射变换、极点极线问题等（解决问题）（1课时）。以下是第一课时“一道高考题的探究”的设计。

如图1，已知抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于P，Q两点，点E为准线与x轴的交点。求证：∠PEF=∠QEF.

问题中涉及到三个独立条件：①焦点弦PQ;②定点E（-P，0）;③∠PEF=∠QEF.教学围绕三个独立的条件组成命题，引发探究。

【探究图谱】

同前“题源”设置

命题1～3三个独立条件：①焦点弦PQ;②定点E（-P，0）;③∠PEF=∠QEF.一般化三个独立条件：①过点的M（m，0）弦PQ;②定点N（-m，0）;③∠PNM=∠QEF.

数学探究活动是运用数学知识解决数学问题的一类综合实践活动，也是高中阶段数学课程的重要内容[4]。这样的单元设计，合理选择了学材，单元建构很好地回应了高中数学课程标准的要求。

4.    以数学思想方法组织学材建构单元

以数学思想方法组织学材建构单元，可以通过数学知识载体，帮助学生系统掌握数学思想方法，落实高中数学教育“帮助学生掌握现代生活和进一步学习所必需的数学知识、技能、思想和方法”的课程目标。

例如：数学运算能力是高中数学的核心素养之一，也是学习高中数学须学会的基本能力，它是指会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件，寻找合理、简捷的运算途径，能根据要求对数据进行估计和近似计算的能力[4]。数学运算需要懂算法，明算理。因此，设置数学运算单元教学具有现实意义。教师可以围绕“会运算、懂算法、明算理”组织学材，建构单元（见图3）。

这样的单元设计教学可以在高三二轮复习时进行，帮助学生站在整个高中数学全局的高度，系统地梳理数学运算的知识体系，理解数学运算的本质，提高数学运算的素养。

四、结束语

用“学材再建构”建构单元教学是指以“学材再建构”理论为指导，以单元知识为模块，统揽单元教学全局，按部就班且有序地开展教学设计，以达到最佳的教学成果。这一教学方法有以下优点：一是改变了“经验式教学”的备课方式，探求主题单元设计操作的新程序;二是改变了“重细节轻整体”的教学思维，探求课堂教学减负增效新思路;三是改变了“零散、碎片”的知识结构，探求教师专业成长的新途径;四是改变了“接受性学习”的学习模式，探求学生高阶思维的新发展。

在数学教学中，要确立单元教学的理念，可以通过“学材再建构”的方法，依据核心数学概念、知识逻辑结构、认知方法体系、数学思想方法等主题重组教学内容，让学生感悟数学的本质，积累研究经验，形成和发展数学思维能力，进而培养学生数学核心素养。

参考文献：

[1]   孙重阳，魏爱民.大观念、大主题、大过程[J].中学化学教学参考，2018（11）.

[2]   李庾南，冯卫东.学材再建构在结构中教与学[J].数学通报，2018（08）.

[3]   施俊进.初中数学“学材再建构”初探[J].学校管理，2016（06）.

[4]   中华人民共和国教育部修订.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

【责任编辑 郭振玲】

该文为江苏省教育科学“十三五”规划课题2016年度课题“普通高中自主课堂的个性品质与文化境界”（D/2016/02/07）、江苏省教育科学“十三五”规划2018年度课题“高中数学教学中‘唤醒艺术的美学建构研究”（D/2018/02/26）的阶段性成果