数学试题命制要从“结构良好”到“结构不良”

摘要：结构不良问题并不是问题本身有错误或者不恰当，而是指它没有明确的结构或解决途径。结构不良问题的解决有利于高级知识的获得和能产性思维的培养。数学结构不良问题的命制可以基于结构不良问题的特点、真实的生活情境和数学的学科逻辑。

关键词：数学试题 结构不良 生活情境 学科逻辑

近年来，数学试题中的结构不良问题引发了研究者的关注。新建构主义认为，结构不良问题有助于发展学生的思维、迁移和创新能力。

一、结构不良问题的特点

结构不良问题并不是问题本身有错误或者不恰当，而是指它沒有明确的结构或解决途径。通过对结构良好问题与结构不良问题的比较（如表1所示），可以看出结构不良问题具有如下特点：（1）给定条件不完全;（2）目标不确定;（3）不明确哪些概念、规则、原理对解决问题有用;（4）常常没有确定、唯一的答案;（5）往往和具体情境相联系或与多个知识领域相联系;等等。

下面以一个具体的例子来说明：

（1）命题p：已知A（1，1）、B（-1，1）、C（-1，-1）、D（1，-1），则满足∠AMD=∠BMC的所有点M都在y轴上。请你判断这个命题的真假。

（2）命题p：已知A（1，1）、B（-1，1）、C（-1，-1）、D（1，-1），则满足∠AMD=∠BMC的所有点M都在y轴上。能够说明命题p是假命题的一个点M的坐标为。

这两个问题是基于同一个背景命制的。问题（1）是结构良好的问题：给出一个具体的命题，判断它的真假，问题条件清晰、目标明确、答案唯一。而问题（2）的特点是答案不唯一，解决方案多样化：既可以考虑正方形ABCD外接圆上的点（除A、B、C、D外），又可以考虑如曲线y=x（x>1）等上的点，还可以建立满足∠AMD=∠BMC的点M的轨迹方程，从中选择不在y轴上的一个点M。因此，问题（2）具备结构不良问题的特征，虽然只是改变了问法，但更有利于考查学生的思维、迁移和创新能力。

根据现代认知心理学的研究，结构不良问题主要有三种形式：一是问题的起点、目标明确，也知道若干种解决问题的办法，但不知道哪种办法最好;二是问题的起点、目标明确，但不知道解决问题的办法;三是只有问题的起点明确，问题的目标和解决问题的途径、方法都不明确。

二、结构不良问题的功能

（一）结构不良问题的解决有利于高级知识的获得

从知识观来看，学习可以分为初级和高级两个层次。解决结构良好问题时，由于问题的设计相对简单化，学生只需要再现其习得的知识和技能，这使学生获得的是“惰性知识”，不利于其在具体情境中有效地迁移。新建构主义认为，结构不良问题能够促进高级知识的获得，为更复杂知识的掌握和运用做准备。通常，结构不良问题需要学生对问题进行准确的表征，建立问题解决空间，进而促进学生在自主建构中提升问题解决能力和思维能力。

（二）结构不良问题的解决有利于能产性思维的培养

德国心理学家韦特海默（M.Wertheimer）提出：能产性思维是指面对一个问题时能产生一个新的解决方案。结构良好问题往往与学生已经解决过的问题相同或相似，学生只需要调用早已知道的解决路径，就可以合理解决问题。比如，求函数f（x）=x³-15x²-33x+6的单调减区间，学生只需要利用导数和单调性的关系，令f^′（x）=3x²-30x-33=3（x+1）（x-11）<0，解得-1

三、结构不良问题的命制建议

（一）基于结构不良问题的特点命制

命制结构不良问题时，可以根据其特点，对条件、结论、方法等问题结构要素进行合理的设置。比如，通过条件部分呈现，或用到的概念、规则、原理不明确，或结论不唯一、解决方法多样等，设计适度开放的问题。

在①b1+b3=a2，②a4=b4，③S5=-25这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中。若问题中的k存在，求出k的值;若k不存在，说明理由。

设等差数列{an}的前n项和为Sn，{bn}是等比数列，，b1=a5，b2=3，b5=-81，是否存在k，使得Sk>Sk+1且Sk+1

这个结构不良问题的特点是条件部分呈现，需要学生自主选择适当的条件填入，构成完整的问题。而根据选择的条件不同，答案也相异：如果填入条件①，那么{an}是首项为-13、公差为3的等差数列，故{an}单调递增，且a5<0，a6>0，所以存在k使得Sk>Sk+1且Sk+10，所以存在k使得Sk>Sk+1且Sk+1

这个题目，我们曾在高二的新授课上测试过学生，结果并不理想。究其原因，并不是解题难度大，而是传统结构良好的题目训练出来的学生对这类“不走寻常路”的题目甚少接触，也缺乏灵活选择信息、运用知识的能力，因此不适应。要改变这种现状，可以从训练学生解决结构不良问题着手，让学生体会问题的丰富性和复杂性，学会对信息的取舍、评价以及推理、判断。

（二）基于真实的生活情境命制

一方面，现实生活中有着大量的结构不良问题，需要解决者从诸多现象中分析、设计出解决方案，这有利于我们设计结构不良问题。另一方面，“学科核心素养实际上就是一种把所学的学科知识和技能迁移到真实生活情境的能力和品质。要养成这种素养，学生的学习应该是在一个又一个基于真实情境的问题中通过体验、探究来建构自己的知识，发展自己的能力”。所以，我们可以从真实的生活情境出发命制结构不良问题，让学生运用数学知识和技能分析、解决实际问题。

（2015年高考全国Ⅰ理科数学卷第19题）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响。对近8年的年宣传费xi和年销售量yi（i=1，2，…，8）数据做了初步处理，得到散点图（见图1）及一些统计量的值（见表2）。

x-y-w-∑8i=1（xi-x-）2∑8i=1（wi-w-）246.65636.8289.81.6∑8i=1（xi-x-）（yi-y-）∑8i=1（wi-w-）（yi-y-）1469108.8注：表中wi=xi ，w-=18∑8i=1wi。

（1）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程;

（3）已知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x。根據（2）的结果回答下列问题：

①当年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？

②当年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？

这一题也属于结构不良问题，它的特点是源于真实的生活情境，目标不够清晰。因此，很多学生不能从模糊的问题情境中发现和提出问题解决的目标。其实，发现和提出问题比分析和解决问题难度更大。因为分析和解决问题时，问题的“已知”和“所求”都是清晰的，学生只需要调用已有的知识和方法，就可以得到问题的答案;但是，发现和提出问题时，问题的“已知”和“未知”往往并不清楚，学生需要多角度思考，确定已知条件和解决目标，这对学生的创造性思维提出了要求。

从散点图中可以看出，8个点的分布更符合y=c+dx的图像，因此，y=c+dx适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型。于是，问题就转化为求出这个回归方程。由题意，可得d∧=∑ni=1（wi-w-）（yi-y-）∑ni=1（wi-w-）2=108.81.6=68，c∧=y--d∧w-=563-68×6.8=100.6，因此，y∧=100.6+68x。所以，当x=49时，年销售量y的预报值y∧=100.6+6849≈576.6，年利润z的预报值z∧=576.6×0.2-49≈66.32。又因为z∧=-x+13.6x+20.12，所以当x=6.8，即x≈46.24时，z∧取到最大值。

这个问题受考试模式的限制，提供了两种模型选择。其实，如果是课堂教学，可以仅提供收集、处理后的数据信息，请学生尝试估计年利润的预报值何时最大。这样的结构不良问题更有价值，更有助于培养学生发现和提出问题的能力。

国际上，在“问题解决”的评价方面，比较有影响力的是国际经合组织（OECD）构建的PISA数学测试。这个测试的目的是考查学生是否掌握参与社会生活所需要的问题解决能力和终身学习能力，而其试题几乎全部是来自真实生活情境的结构不良问题。

不过，依据上述原则命制试题时，我们还要根据考查意图进行适当的处理：剔除偏离目标的细枝末节，保留关键性事实。在选题时，要贴近学生的知识水平、生活经验，使学生能充分地理解情境;在知识点上，要与课程标准和教材内容紧密联系，便于学生找到解决问题的基本依据。

（三）基于数学的学科逻辑命制

数学研究（学习）要解决的问题不仅是“是什么”，更侧重“为什么”，同时还有“在什么条件下形成这个结论”等。因此，我们可以基于数学的学科逻辑设计结构不良问题：要深入研究教材知识，以教材中的基本问题为依托，开发适宜的情境并科学地设问，将教学内容转化为符合学科逻辑的结构不良问题，形成“像科学家一样思考”的问题链。

比如，教学高中数学“导数”这部分内容时，我们多次以三次函数为模型，引导学生学习导数的知识并感受导数在研究函数性质中的工具性作用。因此，我们可以从学生熟悉的三次函数出发，命制以三次函数性质的探究为主体的结构不良问题：

已知三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，其中a、b、c、d∈R，且a≠0。记f（x）的图像为曲线C，已知C的对称中心为O′-b3a，f-b3a。

（1）已知S是C上的动点，证明：当且仅当点S在C的对称中心O′时，过点S且与C相切的直线有且仅有1条;

（2）如图2，记过点O′且与C相切的直线方程为y=h（x），该直线与C将平面分为四个部分。过坐标平面内任意一点M（m，n）作C的切线l，判断直线l的条数，并确定此时点M的位置。

如果利用这个问题开展研究性学习，学生可以借助信息技术手段合理地猜测数学结论，明确解决问题的思路和方案，再通过自主探究、合作交流等方式严格地论证数学结论：当点M在C的对称中心O′处或点M的坐标满足n>f（m），

n>h（m）或n

nf（m），

n

n>h（m）（即点M在图2中的区域Ⅱ）时，直线l有3条。经历上述的问题解决过程，学生能逐渐形成主动探究的习惯，培养实践能力和创新精神。

如果作为测试题（特别适合改编成为高考数学卷中即将出现的新题型——多项选择题），我们可以给出一个具体的三次函数，进而给出不同的点M（恰好位于点O′处、曲线C上不同于O′的点处、区域Ⅰ和区域Ⅱ），考查切线的条数，从中反映学生的数学直觉、实践能力和创新品质。

总之，数学试题命制从结构良好到结构不良，是新课程、新高考的一个亮点。由于结构不良问题本身的特点给学生提供了更为广阔的空间，有利于学生发现并提出问题、分析并解决问题能力的培养以及学科核心素养的形成。希望同仁们能重视结构不良问题的命制，让解决这些问题的过程体现其教育价值，更好地培养学生的数学思维品质。此外，值得一提的是，最大的结构不良问题其实就是数学写作的主题（话题）。而数学写作也是当下数学教学研究的一个热点，值得做更深入的研究。

参考文献：

[1] 任子朝.从能力立意到素养导向[J].中学数学教学参考，2018（13）.

[2] 张东.加强结构不良问题的教学，提高学生发现和提出问题的能力——一道期末试题引发的思考[J].中学数学杂志，2016（2）.

[3] 刘明，丁菁.促进高中学生数学探究的课程资源库建设概述[J].教育研究与评论（中学教育教学），2017（8）.