数学解题中的几种转化方法

倪宝雯

(江苏省扬州大学数学科学学院，225002)

本文通过典型例题分析,探讨如何运用数学转化思想方法来优化解题思路、提高解题效率．

一、数与形转化,化抽象为直观

在解题的过程中,将代数与几何结合起来,将所给解析式转化成图形之间的关系,通过数与形之间的相互转化,更加形象直观,便于解题．

例1设f(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数,f(x)的周期为4,g(x)的周期为2,且f(x)是奇函数.当x∈(0,2]时,

若在区间(0,9]上,关于x的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根,则k的取值范围是______.

分析本题考查函数图象的性质,在临界条件下确定k的取值范围,要注意临界值是否能取到．f(x)=g(x)也就是f(x),g(x)两个函数图象有公共点,将方程的实数根问题转化成两个函数图象的交点问题．再通过交点个数,以数思形,将数量关系转化成几何关系,结合函数的周期性画出相应的图象,最后由形思数,考虑如何联列方程组求解参数的取值范围．转化中运用了数形结合法,化抽象为具体,直观展示题目的意义．

评注代数与几何之间的相互转化,将某些抽象的数学问题转化为图形问题,有利于解题．两个函数值相等可以转化为两个函数图象的交点问题,零点个数一般转化为定曲线与动直线之间公共点的个数,通过图象确定边界值的位置,最后判断端点值是否可以取到．

二、常量与变量转化,化陌生为熟悉

(1)在处理多变量问题的时候,可以恰当地选取其中一个将其看作主元,其余变元看作常量,把多元问题转化为熟悉的一元问题,从而将陌生的问题熟悉化．

例2已知x,y,z是实数,求证x2+3y2+z2+3xy-3yz-xz≥0.

分析要证明的是一个含有多变量的不等式,可将其中一个变量看作主元,此时问题转化为一个函数值为非负数的证明.结合函数图象性质即判别式Δ≤0的证明,将多元不等式的证明转化为含有一个变量的函数图象与x轴的交点问题．

解将不等式左边看作是以x为变量,y,z为常量的函数,则设f(x)=x2+(3y-z)x+3y(y-z)+z2．则问题转化为f(x)≥0,也就是开口向上的抛物线值是非负的,即函数图象不能出现在x轴下方,也就转化为判别式与0之间的比较大小．故Δ=(3y-z)2-4(3y2-3yz+z2)=-3(y-z)2≤0,则原不等式成立．

评注该题涉及多次转化,首先将多元变量不等式看做单元变量不等式,将不熟悉的问题转化成会解决的问题,重新组合设出函数解析式,再由要证明函数值非负,结合函数图象,将代数问题转化为几何问题,最终转化成对判别式的计算与0的大小比较,简化了解题步骤．

(2)在有关三角形的问题中,如果既有三角函数又涉及到三角形的三边,可以将三边与三角函数值互相转化,只保留一种形式,通过转化将变量的个数减少,简化解题．

解法1(将边转化为角)

解法2(将角转化为边)

根据余弦定理，有

2(a2-b2)=c2,

①

②

评注转化的方向不同,计算的步骤也会有所区别.解法1，2是最基本的思路,运用正、余弦的公式,统一变量.解法3是解法2在技巧上的变化,注意到三角形本身具有的特殊性质,根据射影定理用三角函数表示边,求出cosA,cosB,步骤得以简化．

三、巧设变量代换,化部分为整体

在多项式问题中,如有多变量,可以运用合并换元的方法,将两个变量通过一系列的转化变成单一的变量,但需注意新元的取值范围．换元求最值大多会用到基本不等式和、积之间的关系,要注意不等号的方向,应用时取值范围以及等号的情况能否取到．

例4已知正实数x,y满足5x2+4xy-y2=1,则12x2+8xy-y2的最小值为______．

分析1观察注意到5x2+4xy-y2=1可以通过分解因式,将两个因子看成整体进行换元,用新变量表示原来的变量,代入所要求的式子之中,再用基本不等式求最值．

12x2+8xy-y2

分析2观察题设条件等式左边每项都是二次的,且等式右边为1,想到可以利用常数1的代换,将整式转化为分式,分子分母同时除以一个未知量的平方,此时对含有未知量的分式整体换元,将问题转化为单变量的问题来求解,要注意转变为单变量后的取值范围有可能发生变化．

综上所述,应用转化的方法解题，一般可以化抽象为直观,化陌生为熟悉,化部分为整体，等等,通过一系列的变换,可以使得问题更加方便求解．除了本文提及的几种转化方法,还有特殊与一般之间的转化、空间与平面之间的转化、实际问题与数学模型之间的转化等.当然,无论是哪种转化方法,最终目的都是解题,要有目标意识,才能找到合适的方法解题．