一道联赛试题的多种解法和变式探究

吴贤盛

(浙江金华第一中学，321015)

这类试题可以很好地考查考生的运算求解能力、推理论证能力、函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想和数学运算、逻辑推理和数学抽象等数学学科核心素养,具有很好的区分度,因此在各类考试中备受命题者的亲睐.以下介绍这道试题的多种解法和变式探究.

一、解法研究

解法1(单调性法)

评注本解法先求出函数定义域,运用了函数单调性的性质:增函数+增函数=增函数,判断出函数f(x)的单调性,再得出函数f(x)的最大值和最小值,从而得出了函数f(x)的值域.

解法2(换元法)

评注本解法运用了变量代换和三角换元法,借助平方关系式cos2α+sin2α=1以及圆的参数方程实现三角换元,化归为三角函数在给定闭区间上的值域问题,再运用辅助角公式化为形如Asin(ωx+φ)的式子,再求出其最值,得出原函数值域.

解法3(非线性规划法)

评注本解法运用变量换元法后,把问题化归为非线性约束条件下的线性规划,结合图1,根据线性规划问题求出原函数的值域.

二、变式探究

评注本解法先求出导函数,再根据函数单调性与导数的关系求出单调区间,再求出最值.

4x2+(1-4y)x+y2-8=0.

(*)

评注方程法求函数的值域是求函数值域的通法.

设a=(x+1,2),b=(x-2,-1),

评注本解法借助平方关系式cos2α+sin2α=1实现三角换元,化归为三角函数在闭区间上的最值问题,利用辅助角公式可求出值域.