审题中的“探案”思维——以一类三角函数的最值问题为例

丁正东

(江苏省泰州市姜堰区溱潼中学，225508)

有位哲人曾经说过:“世上没有无缘无故的存在,也没有无缘无故的消失”．数学是条理分明,讲究逻辑性的一门学科．任何一道数学题目的诞生,其背后一定会伴随着出题者的意图,其意图有时就是问题本身,有时题目的问题只是一个幌子,真正的意图是在考察处理问题的过程．出题者根据自己的所思所想,来揣测答题人的所思所想,既然是怀揣着目的，那么就一定会在字里行间有意无意地留下痕迹,这就是题目中显性或隐性的条件,或明或暗,或浅或深的条件痕迹就是答题人的开门钥匙．如同探案一般,真相(答案)不会自己跑出来,需要提取表面的一切蛛丝马迹,借助于自身过硬的数学常识认知,运用合理的逻辑推理,建立已知与未知之间的联系,明确方向,完善操作．

审题中的线索可以是题目中条件或是问题本身,也可以是在一些显性语言、数学结构之下的二级结论,或是一些隐晦的暗指;意图可以是问题本身,但不仅仅是问题本身，也有可能是问题之下的另有所图．

下面，针对四类情况，作出分析.

一、线索明显，意图明确

一般来讲,审题时若线索明显，则可以很容易在你的知识最近发展区发现切入口,能够轻松地将出题者的意图与自己的所知建立联系,进行转化运用．这样的题目往往只需要有着基本的概念理解和技能的基本掌握,就能轻而易举地判断出这些条件经常性的转化方向和常用手法,当然这些都离不开平时对常规数学模型的经验积累和记忆掌握．

例2求函数f(x)=sinx+cosx+sinxcosx的最值.

二、线索明显，意图不明确

评注数形结合是一种经典而又非常实用的数学思想,从它的应用来看大概可分为两类:一是“以数解形”，即借助于数的精确性来描述形的某些属性特征；二是“以形助数”，即借助于形的几何直观性来得出数之间的某些关系特征．本着数学的协调美,几何问题可以代数化,代数问题也可以图形化,这样不仅能拓展思维,而且能深层次地把握问题本质．尤其是当我们碰到比较棘手的代数运算时,完全可以从几何的视角去寻找其可能的几何意义,甚至可通过构造熟悉的几何模型来寻找,将代数问题迁移到几何图形中，往往会把问题变得简单且易操作．

三、线索不明显，意图明确

评注实系数一元二次方程与其对应的二次函数、二次不等式有着共同的判别式.判别式是研究二次方程根问题的常用手段,由于判别式建立了三个二次问题的内在联系,以及其在这方面极其丰富的内涵和外延,涉及内容广泛,所以在解决相关二次类型的函数时,可通过寻找与二次方程根的联系来考虑,引入判别式Δ往往能为解题拓展思路,指明方向．

四、线索不明显，意图不明确

分析本题中的条件sinxcosy比较陌生,不能在知识的最近发展区中联系到与其接近的数学模型．如何破解这种困局,关键在于“挖掘关系”,很明显作者是故意切断题目所给与我们所学之间的正常联想,但题目只要能解就一定避不开前后逻辑关系的存在:由条件去解问题．当重新梳理条件和问题的关系时,不难发现条件中sinx与问题中的cosx可以利用sin2x+cos2x=1产生联系,条件中的cosy与问题中的siny也是一样,这样解题思路的“星星之火”也就迸发了．

三角函数的最值问题,“起”于角,“游刃”于函数和各个知识点之间,不会“止”于任何的固定形式．审题中的“探案”思维就是要灵活运用所学知识之间的联系,从基本解题习惯出发,以常用基本数学模型为载体,将心比心,以己度人,试着揣测出题者的想法.挖掘线索,辨明意图,不仅能有效解题,而且能举一反三,在巩固认知中不断地深入到数学本质,从而培养数学核心素养．