基于数学核心素养的试题命制与解析*——以“导数解决零点问题”为例

陈尔明 陈坤其

(福建省福鼎市第一中学,355200) (福建省宁德市教师进修学院,352100)

《普通高中数学课程标准(2017年版)》指出，学科核心素养培育与形成是一个相对独立而又相互融合的有机整体,在学生学习数学和运用数学的过程中,呈现出整合性和综合性的特点.如何在试题命制中,既能考查学生知识、技能掌握的层次,又能有效审定学生核心素养达成的目标梯度,是新课改形势下命题者必须面临的新的课题.本文以导数解决函数零点问题的试题命制为例,探讨如何在试题命制中落实和发展数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养.

试题命制1：函数零点的计算问题

例1已知函数

则函数f(x)所有零点的和为______.

命制思路函数零点计算问题要求学生在理解“求函数零点就是求相应方程的根”概念的基础上,能准确解方程或用导数解决方程问题.借助零点问题考查函数与方程、数形结合、化归与转化等思想,培育数学运算、逻辑推理等数学素养.分段函数是函数零点的计算问题常见的模型载体,命题设计主要基于两类思路:一是解方程直接求得零点;二是方程的根不容易求解时，可以借助导数研究函数单调性、极值求得零点,体现导数的工具作用.

试题解析当x≤0时,由f(x)=x2+4x-5=0,得x=-5,即函数f(x)零点为-5;

综上可得,函数f(x)所有零点的和为-4.

试题命制2：函数零点个数的探究问题

(1)当a=-2时,求f(x)的极值;

(2)讨论f(x)的零点个数.

命制思路着眼数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养的渗透与培育.函数零点个数的探究问题，在近几年高考一般作为高频压轴考点呈现,且一般在第(2)问,对学生的能力素养要求较高.试题主要考查利用导数讨论高次多项式、指对数式等组合函数的零点或方程根的个数,常见解法有分离参数法和不分离但需分类讨论,解题过程常用到零点存在性定理和取点问题.

试题命制3：给定零点个数求参数范围问题

例3已知函数f(x)=aex-x有两个零点,则实数a的取值范围为( )

(A)(0, 1) (B)(-∞, 1)

命制思路已知函数零点个数,求参数取值范围问题是高考常考题型，解决策略有:一是不分离,利用导数工具对函数作分类讨论;二是分离参数,转化为直线与曲线交点个数;三是分离函数,转化为两个初等函数的图象交点个数.试题解析环节往往出现一题多解,通过多维度的分析，体现导数的作用.

试题解析

解法1f′(x)=aex-1.

当a≤0时,f′(x)<0,f(x)在R上单调递减,f(x)至多一个零点,不合题意,舍去;

解法3当a≤0时,f(x)在R上单调递减,f(x)至多一个零点,不合题意,舍去;

设切点A(x0,y0),则

试题命制4：极值点与零点的转化问题

命制思路在试题命制时以极值点或变号零点作为题设信息条件,引导学生利用连续可导函数的极值点和导函数的变号零点相互转化关系可实现有效解题.函数极值点与零点的转化问题重在考查逻辑推理、思维转换、运算求解等数学素养,具有一定的选拔区分功能.

综上,通过对“导数解决函数零点问题”的命题设计和试题解析,体现了导数的工具作用.教师在引导学生探索解题方法及思路形成中应不断培育数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养,让学生体会数形结合、化归与转化、函数与方程等数学思想方法,在学习实践中加深对数学本质的理解.高考作为评价学生知识、技能、素养和核心价值掌握层次的重要平台,近几年试题的命制整体呈现出一定的多元化、综合性、应用性和融合性等特征.它不仅要求学生要有整体大局观,打破学科本位,关注学科内和学科间的交叉互联,加强思维综合引导,形成适应社会发展的必备品格和关键能力,而且对于教师也是提高教学能力、提升专业水平的有效途径.