用平面几何性质解决向量问题

张宏高

(江苏省苏州国际外语学校，215131)

2019年的江苏高考第12题设置了一道平面向量题,很多考生未能解出.分析发现,在定义法、坐标法以及基底法相对困难的情况下,学生的平面几何知识能力还相对欠缺.

一、考题重现

二、解法研究

解法2以线段BC中点D为坐标原点,BC所在直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设A(3m,3n)，BC=2t(t>0),则B(-t,0),C(t,0).

=(-t-3m,-3n)(t-3m,-3n)

方向2:因为O是AD中点，

解法3如图2所示

过D作DF∥CE,交AB于F.在∆BCE中,因为DF∥CE,D是BC中点,所以F是BE中点.而BE=2EA，则E,F是AB的三等分点.在∆ADF中,因为DF∥OE,E是AF中点,所以O是AD中点. 从而有

对于以上三种解法,比较而言,还是解法3用平面几何的性质求解来得快一些.所以，在解决一些向量问题时,当基底法和坐标法有些不顺畅,条件中又给出譬如中点或者三等分点,这时候需要考虑适当地作一些平行线来辅助解题,这也是江苏高考命制向量题的一个主流方向之一.因此,在授课时,利用平面几何知识辅助解题的理念要渗透给学生,相当有必要.

三、刨根究底

对于高考试题的命制,很早就流传这样一句话:源于课本而高于课本. 每年高考结束后,我们都可以在课本上找到一些高考试题的原始模型,而这道高考向量题也不例外. 翻阅课本就会发现苏教版教材必修4的第71页第7题与高考向量题本质上是一致的. 下面来研究一下这道课本习题.

解法1因为CB=2AC，

解法2如图4,过C作CD∥OB,CE∥OA,分别交OA,OB于D,E两点.

四、对教学的启示

通过对上述问题的研究，我们不难发现，不管对新授课和复习课来讲，都有着重要的研究价值.

我们知道，教材的编写是非常严谨的，不管是书上的引言、例题，还是书后的习题，在位置的摆放上都是有讲究的，每道题都有其自身的背景和隐藏的研究价值.因此在新授课时，尤其是新教师，一定要理解教材，吃透教材每一句话的含义.要能通过对教材编写者的设置意图进行揣摩，对题目进行深层次的挖掘和研究，弄清楚题目的前世今生，甚至可以探讨一下问题的来世.久而久之，对我们自身的学科素养也能得到较好的提高.

对于复习课来说,无疑是给老师们带来了一些寻找试题以及方法归类的便利. 不论是平时的复习课，还是高三二轮专题复习课,对于老师的教和学生的学都有着很大的帮助. 尤其是对于高三二轮的专题复习课,体现得更为明显,使知识系统化、结构化,学生整理起来也分外的轻松.

总的来说,对待教材要认真体会教材编写者的用心良苦,领悟每一个题目背后的深意,挖掘题目的研究价值,让每一个题目都能充分发挥更大的作用.