张四保, 邓 勇
(喀什大学数学与统计学院, 喀什 844008)
矩阵方程:
AX=B
(1)
文献[10-12]指出,当且仅当式(1)有解且ABT=BAT时,式(1)在实数域与复数域上有对称解。现讨论式(1)在主理想环R上有对称解的可解性问题,给出其有对称解的充分必要条件,并得到文献[13]中的定理1是本文结论的一个推论。
为方便,Rm×n表示R上所有m×n矩阵的集合,0m,k表示m×k零矩阵,AT表示矩阵A的转置矩阵,GL(m,R)表示R上的m×m矩阵组成的一般线性群,Ir表示R上r阶单位矩阵。
矩阵A∈Rm×n称为可对角化,如果存在矩阵U∈GL(m,R)和V∈GL(n,R),使得
UAV=diag(a1,a2,…,ar,0,0,…,0)=SA
(2)
为对角矩阵,其中ai≠0(i=1,2,…,r)且aj-1|aj(j=2,3,…,r),元素a1,a2,…,ar称为A的不变因子,对角矩阵SA称为矩阵A的史密斯标准形式。若用分块矩阵表示,则SA可表为
(3)
式(3)中:S(A)=diag(a1,a2,…,ar)∈Rr×r。
证明(⟹)设X0∈Rn×k是式(1)的一个解,并且A的史密斯标准形为式(3)。由等式AX0=B,可得:
UAVV-1X0=UB
(4)
(5)
的形式。因此,可得B1=S(A)Y1,B2=0m-r,k。必要性证毕。
(6)
显然成立。因此,有
(7)
如果R=F是一个数域,那么由引理1可得以下推论。
引理2设A∈Rm×n,若rank(A)=r 定理1矩阵方程式(1)在主理想环R上有对称解当且仅当矩阵方程式(1)在R上可解且ABT=BAT。 证明不失一般性,设A,B∈Rm×n。 (8) (9) 设G和B1的分块形式分别为 (10) 式(10)中:G11∈Rr×r,G12∈Rr×(n-r),G21∈R(n-r)×r,B11∈Rr×r,B12∈Rr×(m-r),B21∈R(m-r)×r。由式(9)可得: (11) (12) 利用引理1,由式(11)得B21=0m-r,r,B22=0m-r,n-r;由式(12)得BT21=0r,m-r,BT22=0n-r,m-r。于是,有 (13) 由ABT=BAT,可得UABTUT=UBATUT。于是,又有 (14) AXp=A(X0+Xs)=AX0+AXs=B (15) 先给出矩阵方程[式(1)]存在对称解的另一个充要条件,然后再推导其通解的构造方法。 定理2设A,B∈Rm×n,rank(A)=r,A的史密斯标准形如式(3)所示。于是,式(1)在R上有对称解当且仅当 (16) 式(16)中:D11∈Rr×r是对称矩阵,D12∈Rr×(n-r)。 证明(⟹)设X0∈Rn×n是式(1)的一个对称解。由引理1和AX0=B,可得: (17) 式(17)中:B1∈Rr×n。用V-T右乘式(17)两边,有 (18) (19) (20) (21) 均成立。必要性得证。 (⟸)设矩阵A的史密斯标准形为式(3)。令 (22) (23) (24) 由式(23)可得: (25) 因Y0对称,故X0=VY0VT也对称。同理,由式(24)可得X0AT=BT。因此,矩阵方程AX=B和XA=B在R上有公共的对称解X0。 特别地,当R=F是一个数域时,由定理2可得如下推论。 例1设 求AX=B在整数环上的对称解。 解取可逆矩阵: 于是有 因此,AX=B可解。此外, 例2设 求AX=B在有理数域上的对称解。 解取可逆矩阵: 于是,有 因此,AX=B可解。容易验证: P是有理数域上的任意对称矩阵。2 主要结论
3 通解表示
4 应用举例