“另类” 的裂项相消法

洪汪宝

(安徽省安庆市第一中学 246004)

在近几年的一些考试中，除了考查上述常见的裂项相消，还出现了不少“另类”的裂项相消，体现了命题老师的一种创新.而对于学生来说，创新制造了不小的麻烦，对学生的思维能力和应变能力要求较高.实际上在利用裂项相消法时，关键要抓住通过裂项达到相消求和的目的.下面举例说明，以期抛砖引玉.

分析将分母由两个因式改为三个因式，但裂项时仍然将一项裂开为两项，注意正负号和系数，达到相互抵消的目的.

解由分析知

于是当n为偶数时，

当n为奇数时，

变式求数列{n·n!}的前n项和Sn.

解由n·n!=(n+1)!-n!得

Sn=1×1!+2×2!+3×3!+…+n·n!=(2!-1!)+(3!-2!)+(4!-3!)+…+[(n+1)!-n!]=(n+1)!-1.

分析分母的次数升高了，但仍然将n2(n+2)2看成两个因式n2与(n+2)2相乘，形式相同，考虑裂项，要注意系数.

例5 求数列{tann·tan(n+1)}的前n项和Sn.

A. {0,1,2} B. {0,1,2,3} C. {1,2} D. {0,2}