三角形在圆锥曲线中的地位和作用

吴俊威

摘要：圆锥曲线是高考的重要考查部分，而三角形在圆锥曲线中无处不在，善于运用三角形的有关性质、定理来解决圆锥曲线的有关问题，有时能够快速的、高效的解决圆锥曲线问题，达到事半功倍的目的。

关键词：三角形;圆锥曲线;性质定理;核心素养

中图分类号：G633.6 文献标识码：A文章编号：1992-7711（2020）16-092-2

众所周知，圆锥曲线是解析几何的重要部分，在高考中占有较大的分量，解析几何是数与形的结合，可以用坐标表示图形，用坐标的运算解决图形的运算，但这并不代表所有的问题都可以用坐标的运算解决，有些同学在解题的过程中不注意分析图形特点，不管什么问题都喜欢用设点、设直线等的方法，用坐标的方法解决问题，这样有些会越算越复杂，最后解决不了问题。而事实上很多圆锥曲线问题用坐标运算并不简单，而是要分析题目，有些问题还是要用最基础的图形运算更好解决问题。而图形运算的工具中，三角形是最基本最简单，通常也是最有效的工具。在高考中，以三角形作为载体的考查是相当多的，它一般存在于三个板块：解三角形、立体几何和解析几何，而本文着重论述三角形在圆锥曲线中的地位和作用，三角形在圆锥曲线中无处不在，它直接考查我们的直观想象、逻辑推理和数学运算等数学核心素养。我们应结合三角形的各种性质、定理，对问题和图形认真分析，当我们能够熟练运用三角形这些性质、定理，解决圆锥曲线的有关问题时，就能达到事半功倍的目的。下面通过三个方面去说明：

一、利用三角形的全等、相似和比例性质解决圆锥曲线问题

1.利用三角形全等解题

例1：已知F为双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的一个焦点，其关于双曲线C的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C的离心率为（）

（A）2（B）3（C）2（D）5

分析：此题容易产生一种比较麻烦的解法：点F（c.0）关于准线y=bax的对称点为P，则点P的坐标可用a、b、c表示，然后把点P的坐标代入另一条准线y=bax上，这样就得到一条有关a、b、c的关系式，化简后可得离心率。这种方法虽然思路简单，但是要求点F的对称点P有点困难，一不小心就会算错，或者有些根本求不出。但我们从△POF中分析不难得出△OFQ≌△OPQ，从而有∠FOQ=∠POQ，又两条渐近线的斜率是互为相反数，所以有∠FOQ=∠POE，∴有∠FOQ=∠POQ=∠POE=60°，∴有tan∠FOQ=ba=tan60°=3，也即b2a2=c2-a2a2=3，可得离心率e =2   ∴选C，明显后面这种解法计算量少得多，解题过程简洁得多。当然这里要求我们要有一定观察能力、对图形的分析能力，和对性质的熟练掌握，是要有一定的直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养。

2.利用三角形比例性质解题

例2：过抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F作斜率大于0的直线l交抛物线于A、B两点（A在B的上方），且l与准线相交于点C，若CB=4BF，则︱AF︱︱BF︱=（）

A.53B.52C.3D.2

分析：过B作BE⊥准线于E，AD⊥准线于D，设BF=m，则BC=4m，由抛物线的定义知BE=BF=m，设AF=AD=x，由BE//AD可得BEAD=CBCA，即mx=4m5m+x，解得x=5m3，所以AFBF=53，选A.

通过上面二個例子，我们可以看出，运用三角形的有关全等、相似和比例等性质来解圆锥曲线的有关问题，特别是小题，有时会很简单、简洁，有时甚至是秒杀的速度，当然上面二题也可以用设直线的方法做，但是难度会增加。

二、利用三角形的的有关性质解题

例3：椭圆x225+y216=1的左右焦点为F1，F2，弦AB过F1，若△ABF2的内切圆周长为π，A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则︱y1-y2︱的值为（）

A.53B.103C.103D.53

分析：此题涉及三角形内切圆问题，而内切圆的性质是：内切圆圆心到三条边的距离相等，考虑所求的问题是︱y1-y2︱的值，由此我们要联系到三角形面积的计算问题，三角形面积的有关内切圆计算方法是S△ABC=12r（AB+BC+AC），其中r为内切圆半径，而此三角形ABC的边经过了两焦点F1，F2，根据椭圆定义有AB+BC+AC=20，而内切圆周长为π，所以半径r=12，所以S△ABC=12×12×20=5，而另一方面S△ABC=12×︱F1F2︱·︱y1-y2︱=12×6·︱y1-y2︱，所以可得︱y1-y2︱的值为53，选A.这里是三角形内切圆性质的其中一个的应用，当然内切圆其他性质的应用也是很常见的，比如：圆外一点到到圆的两条切线长相等，内心与各顶点的连线平分每个内角等等。

三、利用三角形的正弦定理、余弦定理解圆锥曲线问题

1.利用正弦定理解题

既然在圆锥曲线中有很多的三角形，那我们当然可以利用解三角形的知识解决问题，运用勾股定理、正弦定理、余弦定理等解题，这也是我们解题常见的，而有些甚至可以利用这些定理去得出一些二级结论，这对于解题也大有帮助。比如椭圆的焦点三角形问题，教材中我们最常见的就是利用正弦定理或余弦定理结合椭圆、双曲线的定义进行解题，而事实上还可以得出一些好用的结论，如：在椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）中，F1，F2是焦点，P是椭圆上的一点，设∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，∠F1PF2=θ，由正弦定理F1F2sinθ=PF2sinα=PF1sinβ=PF2+PF1sinα+sinβ，而F1F2=2c，PF1+PF2=2a，所以2csinθ=2asinα+sinβ，即e=ca=sinθsinα+sinβ，也就是说，如果知道了焦点三角形的三个内角（实际上知道两个就可以了），那么椭圆的离心率就很快求出了，这是椭圆的定义与正弦定理的结合应用。如果是双曲线，只需要把式子改动一下就可以了：e=ca=sinθ︱sinα-sinβ︱，它的应用也是类似的。看一个例子：

例4：（2013全国2卷理11）已知F1，F2，是双曲线E：x2a2-x2b2=1（a>0，b>0）的左右焦点，点M在双曲线E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=13，则双曲线E的离心率为（）

A.2B.32C.3D.2

分析：sin∠F1MF2=cos∠MF2F1=223，sin∠MF1F2=sin90°=1，所以离心率e=sin∠F1MF2︱sin∠F1MF2-sin∠MF2F1︱=2231-13=2，这样不用边的关系就可求出离心率，简化了边角转换的问题，从而使运算简化。

2.利用余弦定理解题

例5：（2019课标1，10有改动）已知椭圆C的焦点为F1（-1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A、B两点，若|AF2|=2|F2B|，|AB|=2|BF1|，求C的方程.

分析：条件只有c=1，由题意知，线段的关系都在△ABF1中，并且都跟两焦点有关，所以这也是一个典型的焦点三角形问题，根据线段长的关系，可以设|F2B|=m，则|AF2|=2m，|BF1|=3m，而由椭圆定义知|AF1|=2m，要求出m的值，就必须要有方程，考虑△ABF1中，各边都可以用m表示，且|F1F2|=2，所以可用余弦定理得方程，在△ABF1中，cosB=（3x）2+（3x）2-（2x）22·3x·3x=79，而在△BF1F2中，cosB=（3x）2+x2-222·3x·x=79，解得x=32，所以2a=23，a=3，b2=2，所以椭圆的方程为x23+y22=1.  由此可知，熟练掌握正弦定理和和余弦定理解三角形对解决圆锥曲线问题有重要的作用，它能建立起三角形边与角的桥梁，也能够快速得到有关方程，通过解方程进而能快速解决圆锥曲线问题。

通过上面的三个方面论述，我们可以看出三角形在圆锥曲线中占有重要的地位，那我们只有充分掌握三角形的性质、定理，包括全等、相似和比例性质，才能灵活掌握解三角形的有关问题，也就是能快速、有效的解决圆锥曲线的问题。其中问题一和问题三，主要说明利用三角形的有关性质定理能够快速解决圆锥曲线的有关问题，这个主要反映在小题当中;问题二，主要说明利用三角形的有关性质定理能够对圆锥曲线的有关问题进行转化，寻求解题的思路和方法，这个主要反映在大题中。所以，如果能够熟练掌握以上的解题技能，对我们提高图形分析、逻辑推理、直观想象、和数学运算等数学核心素养有很大的帮助，最终提高高考数学解题能力。

[参考文献]

[1]普通高中数学课程标准[M].北京： 人民教育出版社，2017.

[2]彭海燕.高考数学全国卷解密（浙江）.浙江大学出版社，2019.

[3]曲一線，5年高考3年模拟[M].北京：首都师范大学出版社，2020.

（作者单位：广东省韶关市翁源县翁源中学，广东 韶关 512600）