从一次函数中的面积问题研究数学建模核心素养的培养策略

罗文欢

【摘要】一次函数中的面积问题是近年中考的热点题型，从依托教材中的例题、习题，渗透数学模型的思想;运用构造法进行教学，培养学生数学建模核心素养;帮助学生学会建模;三方面来研究数学建模核心素养的培养策略。

【关键词】数学核心素养;数学建模;培养策略

一次函数中的面积问题是近年中考的热点题型，往往会与二次函数一起出现在压轴题的位置上，其解题方法灵活多变，学生往往是有点想法，但却难以突破，可望而不可达。而这类问题，看起来不是同一数学问题，但在分析解题思路上却是相同的，看似殊途，实则同归。正是因为这些共同点的存在，笔者才从一次函数中的面积问题入手，来研究数学建模核心素养的培养策略。

一、依托教材中的例题、习题，渗透数学模型的思想

教材中的例题、习题是经过众多数学家、教育家的精心设计及反复筛选后才进入教材被使用的，具有典型性与功能性等基本特征，这些题中往往蕴含着丰富的数学模型思想，作为老师，应不失时机、有意识、有目的地渗透数学模型思想，让学生获得数学模型思想的“浸润”，促成数学方法的“自觉”观念的自然“生成”。

评注：利用图像是“数形结合”思想在解题中的运用，是提高学生解决问题的有效途径。这一问题有相当一部分学生可能感到没有方向，无从下手，但教师引导学生回归第一小问中的图像;图像直观反映出的S轴上24是空心的，也就是说△OPA面积不可能等于24，更加不能大于24，从而在取值范围入手，这样就将问题简化。

看似很复杂的一道题目，通过分析函数图像，然后再转化为代数运算，变成一道非常浅显易懂，而且运算过程很简洁的一道题目，真正实现简化问题过程的目的。

二、运用构造法进行教学，培养学生数学建模核心素养

构造法是一种富有创造性的解题方法，它很好地体现了数学中发现、类比、化归的思想，也渗透着猜想、试验、探索、归纳、概括、特殊化等重要的数学方法。数学构造的方法具有很大的灵活性，利用“数”的模式解决数或形的问题;通过构造图像图形等方式，利用“形”的模式解决关于数或形的问题。下面就从常见几种的构造法去解决一次函数中的面积问题。

1.背景构造和数形构造巧妙结合

通过对数学问题的分析，结合图形，巧妙构造问题的情境，展现问题的真实背景，引导学生把握关键点。由数量关系所表示的几何图形方面进行研究，使问题更明朗，在解题中更能感受数学问题所蕴含的数学思想。

评注：难点是已知面积反推点坐标，注意分类讨论;突破点是三角形面积计算分为规则三角形。（有一边与轴平行或在坐标轴上）

2.拓展构造与联想构造融为一体

以教材为本，挖掘教材;通过对教材的前后思考，理清知识之间的联系，拓展问题。能够从题目中的题设、条件出发，依据题目的特点联想到处理问题的其他形式，使问题得以解决。通过对旧知识的拓展研究，使学生学到新知识，提升能力。将问题深化拓展体现出我们教育学科本质及价值的思想，还具备了培优全面持续发展的优势。

评注：（1）本题考查一次函数的综合应用、割补法（或铅垂法）求面积、三角形的面积公式。解题的关键是灵活运用所学知识简化问题， 从规则三角形到不规则三角形，从切割法到铅垂法求面积。可以拓展构造铅垂线（与y轴平行），铅垂线=y上-y下

（2）面积相等问题：公共边为定边，在平面内找点P使到一个三角形等于要求的三角形，关键在于作定边的平行线。

4.对称构造与探寻构造更易解决

通过对数学中对称思想的理解可以更好地帮助我们解决问题，在最短距离时常常引导学生利用对称的思想考问题和解决问题;探寻构造在分类中使我们的思想更加清晰，把信息整合更加高效。

（2）动点形成的面积计算：①表示三角形的底和高，利用动点的速度、时间、方向或坐标转化为边长;为了便于理清思路，一定要标出关键的条件，②分类依据是动点经过拐点，使所求的图形发生变化。③过程书写，注重一类一图，定好取值范围，分别计算。

（3）利用最小值，作出对称点，定好点P，求出有关得直线解析式代入点P，用路程、速度来求出时间t。

三、鼓励并帮助学生学会建模

在实际情境中，从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题，建立模型，确定解题思路，写出過程，检验结果、改进模型，最终解决实际问题。在数学学科核心素养的视觉下，关键在于立足于学生的学习视角，从学生分析问题、解决问题的认识特点出发，让学生充分发挥自己的思维作用，去建造模型，如果学生的模型显得粗燥，老师应该发挥指导作用。教师应当结合教学，引导学生逐步学会将实际问题转化为数学问题的方法，引导学生学会建立数学模型，如方程模型、函数模型、不等式模型、数列模型等等，从而提高建模素养。

在一次函数面积问题教学中，帮助学生学会建立数学模型的方法，主要有以下几种：1.抓住关键词语，联想转化;2.借助图形直观，以形助数;3.观察图像，整合信息;4.动点转定点，分类讨论。

总之，突破一次函数中的面积问题，提高数学教学效率，数学建模发挥着重要的作用。教师从学生的实际出发，研究数学建模核心素养的培养策略是数学建模素养扎实落地的有力保障。

参考文献：

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