非线性阻尼Berger方程的时间依赖全局吸引子

汪 璇, 杜亚利, 梁玉婷

(西北师范大学 数学与统计学院, 兰州 730070)

0 引 言

在时间依赖空间中, 考虑如下Berger方程：

(1)

其中:Ω是5中具有光滑边界∂Ω的有界开区域;ε=ε(t)是关于t的函数;u=u(x,t)表示金属板在空间x处t时刻的挠度;g(ut)是非线性阻尼项;h是与时间t无关的外力项.

假设非线性函数f(x),g(ut),ε(t)和函数M(·)满足以下假设:

(H1) 若g∈C1(),g(0)=0, 且g是严格增的, 则有

(2)

(3)

(H2) 函数M:+→+是C1上的增函数, 有

(4)

(H3) 非线性函数f∈C1(), 且满足增长性条件:

(5)

耗散性条件:

(6)

(H4)ε(t)∈C1()是单调递减的有界函数, 且

(7)

特别地, 存在常数L>0, 使得

(8)

(H5) 设a(x)∈L∞(Ω), 则存在正常数α0, 使得

a(x)≥α0,x∈Ω.

(9)

方程(1)起源于空中飞行的飞机金属表面遇到气流时的非线性振动现象及能量耗散过程[1-2], 这类方程也被称为von Karman板方程, 它描述了板的大幅度振动. 对于方程(1), 当ε(t)为正常数时, 已有很多研究结果: 当ε(t)=1时, Ma等[3]研究了

utt+Δ2u(t)+g(ut)-M(‖u‖2)Δu+f(u)=h(x)

(10)

当ε(t)为一个正的单调递减函数且在无穷远处趋于零时, 问题(1)则更复杂.为解决这类问题, Contin等[7]基于拉回吸引性的最小性提出了一个拉回吸引子的概念, 并得到了Plinio等[8]在时间依赖空间中建立的吸引子理论, 利用这个新框架研究了带有时间依赖速度增长的弱阻尼波方程

ε(t)utt-Δu+αut+f(u)=g(x)

(11)

解的长时间行为; 文献[9-10]得到了Plate方程和非经典反应扩散方程时间依赖全局吸引子的存在性; 文献[11]得到了记忆型无阻尼抽象发展方程时间依赖全局吸引子的存在性和正则性结果; 文献[12]研究了非自治Berger方程解的渐近性行为, 获得了扩展型Berger方程时间依赖全局吸引子的存在性.

关于带有非线性阻尼的Berger方程即模型(1)的时间依赖动力学行为的研究目前尚未见文献报道. 事实上, 非线性阻尼项、 非线性项以及Kirchhoff型的局部项给有界吸收集的存在性和过程的紧性验证带来了本质困难. 本文利用时间依赖空间的过程理论以及文献[4,13]中验证过程族拉回渐近紧的方法, 即收缩函数的方法, 证明模型(1)时间依赖全局吸引子的存在性.

1 预备知识

定义C是一个正常数, 在不同之处可表示不同的值. 设Qi是一个递增的正函数. 由式(3)可得

(12)

因此

(13)

从而下式成立：

|g(s)|≤C+C(g(s)s)q/(q+1),

(14)

其中1

引理1[14-15]假设g满足式(2),(3), 且对任意的γ>0, 存在一个常数Cγ>0, 使得对所有的u,v∈, 有

(15)

结合条件(5)及中值定理可知, 存在一个常数c1, 使得

(16)

(17)

(18)

由文献[16]知, 对某些λ<λ1, 式(17),(18)成立.

(19)

其中λ1>0为算子Δ2在满足Dirichlet边界条件时的第一特征值.

定义1[6]设{Ht}t∈为一族赋范线性空间, 对于双参数算子族U(t,τ): Hτ→Ht,t≥τ∈, 若满足如下性质:

1) 对任意的τ∈,U(τ,τ)=Id是Ht上的恒等映射;

2) 对任意的t≥s≥τ,τ∈, 有U(t,s)U(s,τ)=U(t,τ).

则称U(t,τ)是一个过程.

定义2[7]如果对每个t∈, 都存在正常数R>0, 使得Ct⊂Bt(R), 则称有界集Ct⊂Ht的集合族C={Ct}t∈是一致有界的.

定义3[7]如果一个集族B={Bt}t∈是一致有界的, 且对每个R>0, 都存在常数t0=t0(t,R)≤t, 使得τ≤t0⟹U(t,τ)Bτ(R)⊂Bτ, 则称B={Bt}t∈是拉回吸收的.

定义4[7]如果对任意的R>0, 都存在常数θ=θ(R)≥0, 使得τ≤t-θ⟹U(t,τ)Bτ(R)⊂Bt, 则称一致有界集族B={Bt}t∈是过程U(t,τ)的时间依赖吸收集.

显然, 如果存在时间依赖吸收集则表明过程是耗散的.

定义5[7]过程U(t,τ)的时间依赖吸引子是满足如下性质的最小集族A={At}t∈:

1) 在Ht中的每个At都是紧的;

定义6[7]假设{Ht}t∈是一族Banach空间, C={Ct}t∈是{Ht}t∈上的一致有界子集族. 如果对任意固定的t∈和任意序列都存在子序列使得成立, 则称定义在Ht×Ht上的函数为Cτ×Cτ上的收缩函数, 其中τ≤t, C(Cτ)是定义在Cτ×Cτ上所有收缩函数的集合.

定理1[7]设U(·,·)是{Ht}t∈上的过程且有拉回吸收族B={Bt}t∈, 进一步, 假设>0, 则对任意固定的t∈, 均存在一个使得

‖U(t,T)x-U(t,T)y‖≤

则过程U(·,·)是渐近紧的.

定理2[7]令U(·,·)是Banach空间{Ht}t∈上的过程族, 如果满足下列条件:

1)U(·,·)有一个拉回吸收族B={Bt}t∈;

2)U(·,·)是拉回渐近紧的.

2 主要结果

问题(1)解的存在性可通过标准的Galerkin方法得到.

首先, 对方程(1)的解在空间Ht中做先验估计.

引理2假设条件(2)～(9)及式(15),(16)成立, 则对于z(τ)=(u0(τ),u1(τ))∈Bτ(R)⊂Hτ, 存在常数R0>0, 使得‖U(t,τ)z‖Ht≤R0(∀t>τ)成立.

由式(17),(19)有

(20)

由Hölder不等式、 Young不等式及式(19)得

(21)

因为M(·):+→+是在C1上的增函数, 则有

(22)

由式(8)及Hölder不等式、 Young不等式, 有

(23)

(24)

由式(4),(19)有

(25)

结合式(20)～(25), 易知存在0

c2K(t)-C≤E0(t)≤Q0(K(t)).

(26)

用ut+δu与方程(1)在Ω上做内积, 得

由式(4)得

从而有

(29)

其中

下面进行分步估计. 由式(8)及Hölder不等式、 Young不等式, 有

(30)

由式(2),(3),(14)可得

其中:η>0;Cg,Ω,‖a‖L∞(Ω)是依赖于g,Ω,‖a‖L∞(Ω)的正常数. 由式(18),(19), 有

(32)

结合式(24),(30)～(32), 有

由式(2)可知, 存在m>0和Rg, 使得当|s|>Rg时,g′>m. 再结合g(·),a(·)的性质, 可得

选取适当的δ1, 有

由Gronwall引理, 得E0(t)≤E0(τ)e-δ(t-τ)+C. 由式(29)可知, 存在常数M1>0, 使得

‖U(t,τ)z‖Ht≤Q4(‖z‖Hτ)e-δ(t-τ)+M1.

‖U(t,τ)z‖Ht≤Q4(R)e-δ(t-τ)+M1≤1+2M1=R0.

证毕.

下面证明过程U(t,τ)在Hτ上的连续依赖性及解的唯一性.

定理4在满足引理2的条件下, 对任意给定的初值zi(τ)=(u0i(τ),v0i(τ))∈Hτ, 存在R>0, 使得‖zi(τ)‖Hτ≤R(i=1,2). 则存在不依赖于zi(τ)的常数C≥0, 使得

‖U(t,τ)z1(τ)-U(t,τ)z2(τ)‖Ht≤eC(t-τ)‖z1(τ)-z2(τ)‖Hτ, ∀t≥τ.

(35)

证明: 设z1(τ),z2(τ)∈Hτ, ‖zi(τ)‖Hτ≤R(i=1,2), 由引理2可知

‖U(t,τ)zi(τ)‖Ht≤C.

(36)

(37)

且

因为

从而由上述估计有

由引理2直接可得时间依赖吸收集的存在性定理：

定理5在满足引理2的条件下, 问题(1)的过程U(t,τ)存在相对应的时间依赖吸收集B={Bt}t∈.

3 时间依赖全局吸引子的存在性

3.1 渐近先验估计

(39)

1) 将式(39)两边乘ωt(t), 并在[s,t]×Ω上积分, 得

因为τ≤s≤t, 所以

由ε(t)是递减函数知ε′(t)<0, 结合式(8)及其引理1知, 对任意的γ>0, 存在一个Cγ>0, 使得

(42)

因此, 有

2) 先将式(39)两边同乘ω(t), 并在[τ,t]×Ω上积分, 有

然后将式(43)×2+式(44), 可得

3) 将式(40)在[τ,t]×Ω上关于s求积分, 得

由ε(t)为减函数, 再结合g(·),a(x)的性质, 有

将式(45)代入式(46), 有

结合g(·),a(x)的性质及时间依赖吸收集的存在性定理可知, 存在正常数CR0, 使得

(48)

再结合式(12),(13), 有

(49)

类似文献[4]的处理方法, 有

即

将式(51)代入式(47), 有

令

(53)

且

(54)

其中:

则有

(55)

3.2 渐近紧性

下面证明问题(1)的过程U(t,τ)是拉回渐近紧的.

定理6如果条件(2)～(9)成立, 对任意固定的t∈, 有界序列及序列-t(当n→∞时,τn→∞), 则存在收敛的子列.

首先, 对于I1, 有

由式(56)～(58)得

(59)

其次, 对于I2, 由式(16)有

由式(16)及Hölder不等式, 有

从而有

(61)

由式(60)～(62)可得

(63)

由式(64)有

(65)

又因为

所以

类似地, 对于固定的t,

有界, 同理由Lebesgue控制收敛定理, 有

由式(65)～(67)有

(68)

定理7在条件(2)～(9)的假设下, 问题(1)对应的过程U(t,τ): Hτ→Ht存在时间依赖全局吸引子A={At}t∈.

证明: 由有界吸收集的存在性及定理1和定理6可知, 过程U(t,τ)存在唯一的时间依赖全局吸引子A={At}t∈. 由文献[7]中引理4.3和定理4.6, 如果过程U(t,τ)是连续的, 则相应的时间依赖全局吸引子不变, 因此由定理4可知, 时间依赖全局吸引子A={At}t∈不变. 证毕.