分形集上关于扰动的梯形积分公式的Iyengar 型不等式

曾志红，时统业

（1.广东第二师范学院 学报编辑部，广东 广州 510303；2.海军指挥学院，江苏 南京 211800）

1 引言与预备知识

梯形不等式[1]是

其 中 f:［a,b］→R 在（a,b）内 二阶 可 微且有关梯形不等式和扰动的梯形不等式可参阅文献[2-6].

Iyengar 不等式[7]是

其中 f:［a,b］→R 是[a,b]上的可微函数，且存在常数M ，使得对任意 x∈［a,b］有有关Iyengar 型不等式和扰动的Iyengar 型不等式可参阅文献[8-12].

沿用文献[13]的记号，设

定理1[13]设区间I⊆R，I°是I 的内部，f: I →R 在I°上二次可微，a,b∈I°，a＜b.若存在常数M2∈R，使得对于任意 x∈［a,b］有则有

本文全篇假设0＜α≤1.文献[14-15]系统阐述了建立在分形空间上的局部分数阶微积分的相关理论.设 Rα是分形实线的α 型集合，aα,bα,cα∈Rα，则在这个分形集中有如下运算律：

下面使用Gao-Yang-Kang 的方法来描述局部分数阶的导数和积分.

定义1[16]设 f: R →Rα是不可微函数，如果对任意ε＞ 0，存在δ＞ 0，使得当时，有则称f 在点 x0处局部分数阶连续.若f 在区间I⊆R 上局部分数阶连续，则记为f∈Cα（I）.

定义2[17]设 f∈Cα（a,b），x0∈（a,b），则f 在点 x0处的α 阶局部分数阶导数定义为

若对任意x∈I⊆R 时存在 f（α）（x），则称f 在I 上α 阶局部分数阶可微，记为 f∈Dα（I）.一般地，记如果对任意x∈I⊆R，存在则记为其中 k=0,1,2,….

设 f,g∈Dα（I），则对任意x∈I，有利用这个局部分数阶导数的乘法法则，有

定义3[18]设 f∈Cα［a,b］，f 在点［a,b］上的α 阶局部分数阶积分定义为

在闭区间上局部分数阶连续的函数是局部分数阶可积的.局部分数阶定积分有与黎曼定积分类似的性质，如线性性质、区间可加性、比较性质、绝对不等式、牛顿-莱布尼茨公式、换元法、分部积分法等[14-18].

引理1[18]1）设则特别地，若 f （x）恒为常数c，则有

2）设 f,g∈Dα［a,b］且则

利用引理1 得

文献[19]引入分形集上广义凸函数的概念.

定义4[19]设I⊆R，函数 f :I →Rα，若对任意 u,v∈I和任意 λ∈［0,1］，有

则称f 是I 上的广义凸函数.

引理2[19]设 f∈Dα（I），则下面条件等价：

i）f 是I 上的广义凸函数；

ii）对任意 x1,2x∈I ，有

引理3[19]设 f∈D2α（a,b），则f 是（a,b）上的广义凸函数当且仅当对任意 x∈（a,b）有 f（2α）（x）≥0α.本文为方便起见，记

本文目的是在分形集上建立关于扰动的梯形积分公式的不等式.为得到本文的主要结果，需要下面的引理.

引理4设区间I⊆R，I°是I 的内部，则有

证明使用局部分数阶积分的分部积分法（引理1）得

式（4）除以 2αΓ2（1+α），则式（2）得证.类似可证式（3）.

引理5设区间I⊆R，I°是I 的内部，若存在常数 k,K∈Rα，使得对于任意 x∈［a,b］有 k≤f（2α）（x）≤K ，则有

证明由式（3）得

于是

引理6[17]（局部分数阶微分中值定理）设函数 F （x）在［a,b］上连续，在（a,b）上α 阶局部分数阶可微，则对于任意 x0,x∈［a,b］，x0＜x，存在 ξ∈［x0,x］，使得

2 主要结果

定理2设区间I⊆R，I°是I 的内部，若存在常数 k,K∈Rα，使得对于任意 x∈［a,b］有 k≤f（2α）（x）≤K ，则有

证明对任意常数ε ，由引理4 得

其中

当 Δα≥0时，考虑任意有

类似可得

综合式（6～10）得

其中

于是有

综合式（11～14），当 Δα≥0时，有

当 Δα≤0时，考虑任意

通过这些以往研究可以发现，从横向上看，对于“媒体会对政策变迁产生影响”这一观点，各学科虽论证方式不同，但已达成广泛共识；从政策学角度出发的研究不少，但充分运用理论展开主体细致分析的不多。从纵向上看，有研究已发现传统媒体与新媒体在影响政策议程、政策变迁上的差异，但缺乏理论指导下的深入比较，也未能结合当下我国媒介融合的时代背景。

推论1设区间I⊆R，I°是I 的内部，若存在常数M∈Rα，使得对于任意 x∈［a,b］有则有

证明在定理2 中取 k=-M,K=M即可得证.

推论2设f ：[a,b] →R二次可微，f′在[a,b]上连续，且存在常数k 和K ，k＜K使得k≤f′≤K，则有

证明在定理2 中取α=1 即可得证.

注1在推论2 中，若存在常数M2，使得则得到定理1.

定理3设区间I⊆R，I°是I 的内部，

证明利用引理3 得：

其中

综合式（16～17）得

其中

于是有

综合式（18～21），则式（15）的右边的两个不等式得证.当 k≤f（2α）≤K 时，有-K≤（-f）（2α）≤-k.对函数-f应用已证结论，则式（15）的左边的两个不等式得证.

推论3设区间I⊆R，I°是I 的内部，若存在常数M∈Rα，使得对于任意 x∈［a,b］有则有

证明在定理3 中取 k=-M,K=M即可得证.

推论4设f ：[a,b]→R二次可微，f′在[a,b]上连续，且存在常数k 和K ，k＜K使得k≤f′≤K，则有

证明在定理3 中取α=1 即可得证.

注2在推论4 中，若存在常数M2，使得则有

注3式（1）与式（22）各有强弱.比如取 f （x）=x4，［a,b］=［-1,1］，则 M2=12,T1=4,Δ1=0，显然式（22）比式（1）好些.又比如取 f （x）=x3，［a,b］=［-1,1］，则 M2=6,T1=0,Δ1=4，由式（1）得由式（22）得因为故式（1）与式（22）好些.