一类具有Holling II 型功能反应的分数阶捕食者-食饵系统的动力学分析

杜争光，蒲武军

（陇南师范高等专科学校 数学系，甘肃 陇南 742500）

分数阶捕食系统的动力学研究是整数阶动力系统研究的拓展和延伸，是生物种群动力学研究的一个重要组成部分.Ahmed[1]讨论了一类分数阶捕食者-食饵模型，此后，分数阶种群动力学的研究逐渐成为了一个热点课题，受到了许多学者的广泛关注，取得了一系列好的研究成果[2-5].Komeil[6]讨论了一类具有Holling II型功能反应的捕食系统，对平衡点的稳定性进行了研究，并证明了分数阶种群动力学模型平衡点的稳定性、收敛速度与系统的阶数α 密切相关.Khoshsiar[7]对一类食饵具有非线性收获的分数阶捕食模型进行了研究，并指出，分数阶模型表现了更加丰富的动力学行为，且随着分数的阶的改变，动力学行为会越来越复杂.

目前，针对具有Holling II型功能反应的分数阶捕食者-食饵模型的研究，已经有了部分结果[5-8].本文考虑一类具有Holling II型功能反应且食饵和捕食者都具有线性收获的分数阶捕食者-食饵模型：

其中，α∈(0,1]； r,k,a,b,c,d1,d2,h 均为正常数.r 表示食饵的增长率，k 表示食饵的环境容纳量，b 表示捕食率，c 表示食饵的转化率，d1,d2表示食饵和捕食者收获率，a 表示Holling II功能系数，h 表示捕食者的死亡率.u (t)和 v (t)分别表示食饵和捕食者的种群密度，初始条件 u (0)＞0,v(0)＞0.

1 预备知识和引理

定义1[9]设函数 f:R+→R+，且 f (x)和f(n)(x) 均连续，则其α 阶Caputo分数阶导数定义为：其中，n-1≤α＜n，Γ (·) 是Euler Gamma函数.

性质1[10]Caputo分数阶导数满足线性运算性：

引理1[11]设分数阶系统有平衡 点 (xe,ye)，则平 衡点 (xe,ye)局部渐近稳定的充要条件是：Jacobian矩阵在平衡点 (xe,ye)的所有特征值 λi满足条件

引理2[12]设 x(t)∈R+是连续可微函数，则对任意时刻t≥t0，有

引理3[13]分数阶系统 Dαx (t)=f (t,x)，t＞t0，其中，f :[t0,∞)×Ω →Rn,Ω ⊂Rn，x(0)=x(t0)，α∈(0,1]，若函数 f (t,x) 关于x 满足局部Lipschitz条件，则系统存在[t0,∞)×Ω 上的唯一解.

引理4[14]设 u (t) 是定义在 [0t,∞)上的连续函数且满足其中λ＞0 ，初始时刻 t0≥0.则Eα是Mittag-Leffler函数，即

2 主要结果及其证明

2.1 解的存在唯一性、非负性和有界性

定理1对任意初值（x (t0),y (t0)）∈Ω,Ω={(x,y)∈R2:max{|x|,|y|}≤M}，系统（1）存在唯一解X=(x,y)∈Ω，且对任意的初值 (x(t0),y (t0))∈Ω+，系统（1）的所有解均非负且一致有界.

证明首先，令定义映射 H (X)=(P (X),Q (X))，对

以下证明非负性和一致有界性.

因此，系统（1）始于Ω+的所有解均在上，即Γ 是关于系统（1）的正交不变集，且对任意初值 (x(t0),y (t0))∈Ω+，系统（1）的所有解均有界.

2.2 平衡点的局部稳定性

为方便说明问题，首先求出系统（1）在 E (x,y) 点的Jacobian 矩阵：

定理2系统（1）的平凡平衡点E0(0,0)和边界平衡点均不稳定.

证明易知系统（1）在E0(0,0)点的Jacobian 矩阵对应的特征值分别为 λ1=r-d1＞0，λ2=-(d2+h)＜0，则由引理1 知E0(0,0)不稳定.

结合条件H2，同理可得，系统（1）的边界平衡点亦不稳定.

定理3若条件 1H 和H2满足，且下列任一条件成立：

证明系统（1）在正平衡点 E2(x*,y*)处的Jacobian 矩阵为

故其特征根可表示为

若条件i）成立，则 rp+2rx*+d1-r＞0，从而分两种情形：

1）若 tr2(J2)-4det(J2)≥0，则有 λ1＜0,λ2＜0，于是由引理1 知正平衡点 E2(x*,y*)局部渐 近稳定.

2）若 tr2(J2)-4det(J2)≥0，则 λ1和 λ2是一对共轭复根，且 Re(λ1)=Re(λ2)=tr(J2)＜0，故|arg(λ1)|＞由引 理1 知正平 衡点 E2(x*,y*)局部渐 近稳定.

综上，正平衡点 E2(x*,y*)局部渐 近稳定.

若条件ii）成立，则

若条件iii）成立，则

2.3 平衡点的全局渐近稳定性

定理4若条件 H1和H2满足，且 rp （p+x*）＞ y*，则系统（1）的唯一正平衡点 E2(x*,y*)是全局渐近稳定的.

证明定义 E2(x*,y*)处的Lyapunov 函数 V (t)如下：

由引理2 可得：

显然，平凡平衡点 E0和边界平衡点 E1均在Γ 的边界处，正平衡点 E2在Γ 内，由定理1 知集合仍然是系统（1）的一个正不变集和全局吸引集.由文献[15]知，对于任意初值条件即正平衡点2E 是全局吸引的，此即说明系统（1）的正平衡点 2E 是全局渐近稳定的.