例谈整体思想在高中数学解题中的应用

◎杨文博 （山东省东阿县实验高中，山东 聊城 252200）

一、引 言

为了帮助高中生形成严谨的数学解题思想，在日常解题教学中，教师要合理渗透整体思想，引导学生加强对数学知识的整合，基于整体分析数学问题，形成明确的解题思路与逻辑关系.而在现阶段的高中数学教学活动中，由于受到教学观念、教学方法等众多客观因素的影响，降低了学生学习的自信心，不利于培养学生的学科素养，同时增加了学生理解知识的难度，难以为学生的学习过程提供有效的指导.为了落实素质教育，在高中数学解题教学过程中，教师需要充分意识到整体思想对其教学过程带来的积极影响，从而在教学活动中加强整体思想的使用，不断优化数学解题教学的思路，使学生能够养成良好的学习习惯和学习技巧，以更加适应未来的学习和生活.与传统的教学方式相比，借助整体思想能够实现化繁为简、化难为易，使学生能够从整体上把握数学问题的关键，有效提升学生的解题水平，提升学生的自主学习能力与合作探究能力.

二、整体思想的教学价值和实际意义

在以往数学教学中，教师基于教材内容的引导，以从简单到复杂的教学顺序来开展教学，即在学生了解了某一数学知识点后，开展重复的习题训练，以强化学生对相关数学知识点的记忆和掌握.而在高中数学中，学生需要学习很多数学知识点，基于传统的教学强化模式，学生的习题练习将会无限增加，最终陷入题海泥潭，久而久之，学生的数学学习兴趣与积极性就会下降.与传统的教学方式相比，整体思想对教学过程更加灵活.教师在数学教学中，要合理渗透整体思想教学，突出教学知识主干，帮助学生快速构建数学主干知识框架，即整体性的思维导图.学生在对局部数学内容学习时，可以进行各个击破，以提高数学知识的整体学习质量与效率.在高中数学解题教学过程中，加强整体思想的使用，能够有效提升学生解题的速度和准确率，有效培养学生的数学思维和能力.在整体思想的实际应用中，学生还可以结合个人的学习状况适当调整学习状态，不断优化思维模式，学会从多个角度来看待问题，全面提高思维能力.

三、高中数学教学中存在的问题

1.教学方法陈旧

教育部对高中数学教学活动提出了全新的标准，在高中数学具体教学活动开展过程中，教师需要能够在加强知识传输的同时有效渗透并落实“素质教育”这一理念.由于受到教学理念及教学方式的影响，在现阶段的高中数学教学活动中，教师仍旧沿用传统的教学观念和教学方式，这就导致教学过程具有一定的滞后性，难以满足学生的实际学习需求，不利于学生的个人发展.在应试教育的大环境下，大部分教师都更加关注学生的成绩，而忽略了数学方法及解题技巧的指导和培养.在实际教学活动中，他们仍旧沿用传统的教学方法，缺乏与学生之间的互动交流，难以带领学生进行分析和思考.

2.教学内容缺乏创新

在新课程改革实施的过程中，许多教师逐渐开始认识到加强课程改革的重要性，但在实际教学过程中，他们仍旧沿用单一的教学方式，教学内容缺乏有效创新.具体体现在教学的内容缺乏新颖性，难以吸引学生的注意力，同时难以将相应的知识点更加直观地展现在学生的眼前，教学的重点和难点内容难以充分体现出来.这就使得教师在实际的教学过程中难以为学生提供思考的机会，使学生看待问题的角度变得片面，解题思路变得狭窄，限制了其思维的发展.

3.学生的学习兴趣不高

在高中数学教学活动开展过程中，许多教师已经逐渐意识到好的数学思想能够有效提高学生解题的准确率，但在实际教学活动中缺乏有效的实践.虽然学生接触到的数学知识和数学思想内容越来越多，但其实际的学习目标仍旧达不到预期，这就降低了学生的学习兴趣.出现这种情况是因为在高中数学教学活动中，相应的教学内容缺乏趣味性和引导性，再加上教师的教学过程过于生硬，使学生产生了抵触心理，在学习过程中难以按照教师要求完成相应的学习任务，降低了学生的学习效率.

四、整体思想在高中数学教学中的具体应用

1.创新教学方式，改善氛围

基于以往的数学教学模式的局限，教师需要依据整体思想开展教学创新.在对某一章节的内容开展教学指导时，教师要开展整体思想教学，设计该章节主干知识的思维导图，让学生依据主干思维导图开展自主学习，对该章节的数学知识体系进行初步了解，以协助其构建自我数学知识框架.学生在构建了主干知识框架后，需要细化每一个数学知识点的内在联系与衍生信息.教师在教学活动中开展数学引导时，学生会基于自己对问题的求知性，积极主动地参与到教学活动中，形成良好的师生课堂互动氛围，打破以往教师单一讲授的枯燥模式，提高课堂学习质量与效果.随着学生数学整体思想的不断强化，在学习新内容时，学生可以自主绘制知识主干的思维导图，为后续的课堂学习与解题学习打下基础.因而在具体的教学活动中，教师要充分意识到整体思想的应用价值，借助整体思想，不断优化、创新教学方式，加强对学生的思维引领和指导.例如，教师可以将整体思想应用到椭圆问题的教学中，帮助学生通过有效的归纳和总结，提高学习自信心.为了简化学生的解题过程，让学生的每个解题步骤都能获得相应的分数，教师应带领学生加强分析，选择合适的解题方法，尽可能减少变量未知数的产生，简化解题过程，把复杂的问题变得简单化，快速、准确地获得答案.

2.优化教学内容，加强渗透

在数学解题教学中，为了使学生很好地掌握并理解整体思想，教师需在课程教学时进行一定的渗透引导，循序渐进地引导学生形成数学整体思想.例如，在人教A 版高中数学“点、直线、平面之间的位置关系”教学中，涉及很多数学定理与公理，给学生的学习和理解造成一定影响.学生对数学公理与定理掌握不准确，为后续解题造成了一定阻碍，该章节的主要数学公理如下.

公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.

公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

这一部分包含的内容相对抽象，对学生的逻辑思维能力和记忆能力有着较高要求.而部分学生由于空间抽象思维能力有限，无法对繁多的定理与公理进行区别掌握，导致学生遇到具体的数学空间图形例题时，无法找出解题的突破口，降低了学生解题的积极性，同时限制了学生的思维发展，使学生产生了恐惧心理.为了提高学生的数学解题效率，教师对该章节的内容进行教学引导时，要加强整体思想的教学渗透，让学生基于整体思想加强对数学定理与公理的归纳分析.例如，求证面与面之间的垂直关系时，学生基于整体思想对定理进行分析可知，证明面与对应面的直线垂直就可以解决问题.基于对问题的分析可以推断出，证明两个面的垂线垂直，就可以证明面与面垂直.教师通过数学整体思想渗透，引导学生形成科学的学习框架与思路，使其在面对看似繁杂的数学例题时，可以抓住例题的信息主线，基于题目的信息，进行化整为零的剖析，将复杂问题简单化，最终正确高效地解答对应例题.

基于学生对“点、直线、平面之间的位置关系”内容的学习，为检验学生对数学整体思想的学习理解深度，教师通过具体的空间几何例题对其进行考查，并让学生对例题进行整体分析思考，寻找解题思路.

例题：如右图所示，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，M是AD的中点，N是BD′上的一点，且D′N∶NB＝ 1 ∶2，MC与BD交于点P.

问题 1：求证：NP垂直于平面ABCD.

问题2：求平面PNC与平面CC′D′D所成的角.

学生在对该例题进行整体思考时，为了证明直线NP垂直于平面ABCD，可以找出平面ABCD内任意一条直线，证明其垂直于直线NP即可.用整体思想对例题进行化整为零的剖析，找出问题的解题突破口，提高数学解题效率.学生基于对问题1 的证明，并结合该章节相关的定理与公理，再对问题2 进行整体分析，挖掘例题中潜在的题目信息，以求解出问题2 的答案.在实际的教学过程中，教师需要不断优化教学内容，借助先进的教学理念和思想，加强对教学内容的筛选.学生通过对具体例题的求解，可以在解题过程中不断深化对整体思想的学习和掌握.学生通过整体思想的数学解题，会发现自己的解题效率与正确率明显提升，为今后的数学学习奠定了坚实基础.

3.加强教学创新和优化，激发兴趣

在高中数学解题教学过程中，教师作为主导，要给予学生充足的时间和空间，让学生加强思考和探究，充分突出学生的主体地位.因此，在具体的教学活动中，教师要不断优化创新教学的方式方法，结合先进的教学理念，不断更新教学内容，激发学生的学习兴趣.例如，在函数教学中，为了帮助学生掌握函数知识，为后面的学习打下坚实的基础，教师可以带领学生使用整体思想来解答相应的函数问题，让学生能够通过有效的迁移和联想，不断强化学习过程，并能够结合相应的习题练习，有效掌握函数的思想，从而学会利用函数思想来解决具体的数学问题.通过这样的教学方式，学生在以后的学习中能够做到触类旁通、举一反三，使得学习过程更加灵活高效，且能够避免机械化的记忆，全面提高学习效率.因此，在高中数学教学过程中，教师要将各种类型的数学题目展现在学生的眼前，且能够带领学生学会运用整体思维这一方法来分析具体的题目，增强学生思维的灵活性和创新性.而在师生共同研讨的过程中，教师应讲解最简便、最有效的解题方法和思想，提升学生的解题效率和质量.在高中数学教学活动开展过程中，教师要能够借助整体思想加强教学内容与教学过程的创新和优化，帮助学生养成良好的数学意识和应用意识，使学生能够掌握相应的数学思想和解题方法，为学生营造一个更加轻松愉悦的学习环境，激发学生思维的灵活性，实现学生个人的全面发展.例如，在“算法初步”的学习中，教师可以利用整体思想，让学生了解算法框图的基本结构和设计要点，从而使其掌握几种基本的语句.教师要使学生能够联系日常生活，深刻领悟算法的基本思想，要不断强化学习过程，使学生能够通过模仿、操作、探索和设计程序框图等一系列的过程，全面提高学习效果，从而了解构造算法的关键，加强重点知识的学习.

五、结束语

总之，在高中数学教学中，为了提升教学水平，教师必须对教学模式与理念进行创新.如在解题教学引导时，教师基于学生解题的现状，应开展整体思想教学渗透，依据教材内容对其进行引导，并通过具体的例题进行教学剖析，提升学生对整体思想的解题理解高度.教师要通过渗透整体思想帮助学生养成良好的数学意识和应用意识，将学生从题海中解脱出来，提高学生的解题能力.