与“狄里克莱函数”相关的反例研究

◎谢素英 （杭州电子科技大学理学院，浙江 杭州 310018）

数学分析［1－3］是大学数学类专业的一门重要基础课，在数学分析教学中适当地构造反例是至关重要的.反例是指某数学命题不成立的例子，是反驳纠正错误的一种方法.数学分析能训练学生严谨的逻辑思维能力，为此教学中正确的结论要严格证明，不正确的结论或命题，要么证明要么举反例说明结论不真.教师在教学中通过举反例验证结论不成立是简单明了的一种教学方式.本文针对狄里克莱（Dirichlet）函数［1－3］在数学分析中作为反例展开研究，归纳总结了一些构造反例的技巧.

约翰·彼得·古斯塔夫·勒热纳·狄里克莱（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet）（1805—1859），德国数学家，解析数论的创始人.他给出了著名的狄里克莱函数：

D（x）＝也可以简单地表示为分段函数的形式

狄里克莱函数是定义在全体实数，取值为｛0，1｝的偶函数，它是以任意正有理数为周期的周期函数，无最小正周期.狄利克莱函数是一个处处不连续，处处不可导的可测函数［4］，在 R 的任意可测子集上的勒贝格积分为 0［4］，也是黎曼不可积［1，2，3］最典型的例子.下面我们通过狄里克莱函数来构造数学分析中的一些典型反例.

一、狄里克莱函数在定积分中的反例

1.在定积分中，黎曼可积函数均有界，但有界不一定黎曼可积.

例 1

分析D（x）显然在［0，1］区间上有界，但由黎曼定积分的定义，可知定积分不存在，因此有界不一定可积.

2.若f（x），g（x）在［0，1］上黎曼可积，则f（x）＋g（x）在［0，1］上也黎曼可积，但反之不然.

例2

分析由定积分的定义，可知f（x）和g（x）在［0，1］上的定积分均不存在，但显然f（x）＋g（x）＝ 0 在［0，1］上的定积分为 0，故f（x）＋g（x）在［0，1］上是黎曼可积的.

3.若f（x）在［0，1］上的定积分存在，则｜f（x） ｜在［0，1］上的定积分也存在，但反之不然，即｜f（x） ｜在［0，1］上黎曼可积，f（x）在［0，1］上不一定黎曼可积.

例 3

分析由定积分的定义，可知f（x）在［0，1］上的定积分不存在，但显然｜f（x） ｜＝1 在［0，1］上的定积分是存在的，且积分值等于1.

构造技巧1狄里克莱函数在定积分中的反例主要利用的是狄里克莱函数在［0，1］区间上的有界性和处处不连续性，即函数在有理点为1，无理点为0 的特性，并利用狄里克莱函数构造出新的处处不连续的函数满足“反之不然”的结论要求.

二、狄里克莱函数在一元函数的连续与可导中的反例

1.若f（x） 在x点可导，则f′（x），n∈N＋，反之不然.

例 4

分析当x∈Q 时，显然

2.若｜f（x） ｜在点x＝a处连续，则f（x）在点x＝a处连续，反之不然.

若｜f（x） ｜在点x＝a处可导，则f（x）在点x＝a处可导，反之不然.

例 5

分析f（x）在任何有理点x＝a处不连续，也不可导，但｜f（x） ｜＝1 在整个 R 上处处连续处处可导.

构造技巧2狄里克莱函数在一元函数的连续与可导中的反例主要利用的是狄里克莱函数在整个实轴上的处处不连续性，构造出新的处处不连续函数，结合函数在一点连续是函数在该点可导的必要条件这一特性，满足“反之不然”的结论要求.

3. 两个连续函数的和一定是连续函数，反之不然，即连续函数不一定是两个连续函数的和.

例6

证法1因为∀x1∈Q，x2∈Qc，利用三角不等式可知

由函数连续的定义，可知f（x）和g（x）在R 上处处不连续.

证法2因为对于上面的f（x）和g（x）可以分别拆解为：

拆分之后，由于D（x）在 R 上处处不连续，显然f（x）和g（x）在 R 上也处处不连续，但f（x）＋g（x）＝ 2＋sinx在 R 上处处连续.

还可以构造类似的反例如下：

用类似于例 6 的方法可以证明f1（x）和g1（x），f2（x）和g2（x）在 R 上处处不连续，但f1（x）＋g1（x）＝ 2＋cosx，f2（x）＋g2（x）＝ －2－sinx在 R 上处处连续.

构造技巧3利用狄里克莱函数构造两个新的处处不连续的函数，这两个函数必须满足：任取一个有理点和一个无理点，其函数值之差的绝对值总大于等于某一个正的常数.而这样的两个函数之和恰恰在整个实轴上是连续的函数，因此满足了“反之不然”的结论要求.

4.两个连续函数之积一定是连续函数，反之不然.

例 7

证法1∀x1∈Q，x2∈Qc，利用三角不等式可得

故f（x）和g（x）在 R 上处处不连续，但f（x）·g（x）＝x2＋1 在 R 上处处连续.

证法2对于上面的f（x）和g（x）可以分别拆解为

拆分之后看，显然f（x）和g（x）在 R 上处处不连续，但f（x）·g（x）＝x2＋1 在 R 上处处连续.

还可以构造类似的反例如下：

例 8

证法1∀x1∈Q，x2∈Qc，利用三角不等式可得

故f（x）和g（x）在 R 上处处不连续，但f（x）·g（x）＝x2＋2 在 R 上处处连续.

证法2对于上面的f1（x）和g1（x）可以分别拆解为

拆分之后看，显然f（x）和g（x）在 R 上处处不连续，但f（x）·g（x）＝x2＋2 在 R 上处处连续.

构造技巧4利用狄里克莱函数构造两个新的处处不连续的函数，这两个函数必须满足：任取一个有理点和一个无理点，其函数值之差的绝对值总大于等于某一个正的常数.而这样的两个函数之积恰恰是在整个实轴上连续的函数，因此满足了“反之不然”的结论要求.注意，构造函数时要保证两个函数相乘时分子分母容易相抵的特点.

三、狄里克莱函数在二重积分中的反例

1.若二重积分存在，则被积函数在积分区域上一定有界，反之不然.

例9设即当x，y都是有理数时（x，y）称为有理点，其他情形称为非有理点.

分析D（x）显然在闭区域D＝［0，1］×［0，1］上有界，但由二重积分的定义可知二重积分不存在.

2.若f（x），g（x）在D＝［0，1］×［0，1］上的二重积分存在，则f（x）＋g（x）在D＝［0，1］×［0，1］上的二重积分也存在，反之不然.

例 10D＝ ［ 0， 1］×［0， 1］，f（x） ＝D（x） ＝

分析由二重积分的定义知，可f（x）和g（x）在D＝［0，1］×［0，1］上的二重积分不存在，但f（x）＋g（x）＝ 0 在D＝［0，1］×［0，1］上的二重积分存在且积分为零.

f（x）在D＝［0，1］×［0，1］上的二重积分存在，则｜f（x） ｜在D＝［0，1］×［0，1］上的二重积分也存在，反之不然，即｜f（x） ｜在D＝［0，1］×［0，1］上的二重积分存在，f（x）在D＝［0，1］×［0，1］上的二重积分不一定存在.

例11

分析由二重积分的定义，知f（x）在D＝［0，1］×［0，1］上的二重积分不存在，但｜f（x） ｜＝1 在D＝［0，1］×［0，1］上的二重积分存在且等于1.

构造技巧5狄里克莱函数在二重积分中的反例主要利用的是狄里克莱函数在区域D＝［0，1］×［0，1］上的有界性和处处不连续性，即有理点（x，y）为 1，非有理点（x，y）为0 的特性构造新的处处不连续的函数，满足“反之不然”的结论要求.

结束语

利用狄里克莱函数构造数学分析中的反例主要是应用狄里克莱函数的处处不连续性以及函数的有界性，将初始的狄里克莱函数进行变形或进行四则运算得到新的处处不连续的函数.