关于矩阵乘积秩的一种简捷证明

2020-09-11 13:41孔妮娜北方民族大学数学与信息科学学院宁夏银川750021
数学学习与研究 2020年11期
关键词:数域乘积结论

◎孔妮娜 (北方民族大学数学与信息科学学院,宁夏 银川 750021)

一、基本概念及定理

已知矩阵

如果把矩阵A的每一行看成一个向量,则

称为矩阵A的行向量组.

如果把矩阵A的每一列看成一个向量,则

称为矩阵A的列向量组.

定义[1]矩阵A的行向量组的秩称为矩阵A的行秩,矩阵A的列向量组的秩称为矩阵A的列秩,且矩阵A的行秩与列秩相等,统称为矩阵A的秩.

参考文献[1]中给出的关于矩阵乘积秩的定理如下:

定理[1]设A是数域P上s×n矩阵,B是数域P上n×m矩阵,于是

即矩阵乘积的秩不超过各因子的秩.

二、主要结果

本文用一种简捷的方法证明了矩阵乘积秩定理,并举例说明定理的结论成立.

定理的证明要证明式(1)成立,只需要证明秩(AB)≤秩(A),同时秩(AB)≤秩(B).下面分别证明这两个不等式.

(1)首先证明秩(AB)≤秩(B).

已知

设β1,β2,…,βn表示矩阵B的行向量组,则

则矩阵C的第i行元素分别为

令γ1,γ2,…,γs表示矩阵C的行向量组,则

把式(4)带入式(5),得

即矩阵C的行向量组γ1,γ2,…,γs可以由矩阵B的行向量组β1,β2,…,βn线性表出,所以

(2)其次证明秩(AB)≤秩(A).

令α1,α2,…,αn表示矩阵A的列向量组,则

由式(2)和式(3)可知,矩阵C的第j列元素分别为

如果令μ1,μ2,…,μm表示矩阵C的列向量组,则

把式(6)带入式(7),得

即矩阵C的列向量组μ1,μ2,…,μm可以由矩阵A的列向量组α1,α2,…,αn线性表出,所以

综上所述,结论成立.

例已知矩阵

下面利用矩阵的初等行变换分别计算矩阵A、B及AB的秩:

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