2020年高考“不等式”专题解题分析

王云剑

摘  要：从解不等式、基本不等式及其应用、简单线性规划问题、不等式“跨界”综合问题四个方面对2020年全国各地高考数学试卷中与不等式相关的试题进行分类评析和综述，并提供解题指导和备考建议.

关键词：不等关系;函数思想;“跨界”交会

本文将从不等式解法、基本不等式及其应用、简单线性规划问题和不等式“跨界”综合问题这四个方面对2020年全国各地的高考数学试卷中与不等式相关的试题进行解法分析、试题评析和综述.

一、解不等式

【评析】求解一次不等式、二次不等式是高考的必考点，是考查数学运算和直观想象素养的基本载体. 往往结合集合的运算、常用逻辑用语、函数的性质等知识综合考查.

【评析】该题考查含参数三次不等式的求解问题，可以转化为对应的三次函数值恒大于等于0的问题. 根据已知条件求出三次函数的零点，结合三次函数的图象特征，对函数零点进行分类讨论即可解决. 该题解法体现出不等式与函数之间相互包含、转化的关系，更能体现出学生对函数与方程、数形结合思想的运用水平，是对逻辑推理和数学抽象素养的考查.

【评析】绝对值不等式问题的本质是绝对值的定义，即[a=a，a≥0，-a，a<0.] 根据绝对值的定义进行分类讨论，即可把问题转化为不含绝对值的不等式问题. 解题易错点有三个：一是分类不全有遗漏，如遗漏[a=0]的情况;二是忽视分类的前提条件;三是分类后混淆各类之间的关系. 分类讨论后需要在每类的自变量取值范围内求出对应的解集，然后求并集方能得到原不等式的解集. 该题体现了对学生的数学运算、直观想象和逻辑推理素养的考查.

二、基本不等式及其应用

【评析】运用基本不等式解题要注意其成立的三个条件，即“正、定、等”缺一不可.“正”是要先判断参数是否为正值;“定”是要看参数的和或积是否为定值;“等”是要验证等号能否成立. 验证等号是否成立时主要注意两点：一是相等时参数是否在定义域内;二是多次运用基本不等式时等号是否同时成立. 学生容易遗忘“正”和“等”这两个条件.

【评析】多选题是2020年高考中出现的新题型，较单选题的得分难度增大，更能考查学生对知识的掌握程度和理解运用能力，能更好地体现高考试题的梯度和效度.

三、简单线性规划问题

【评析】线性规划问题实质是求二元一次方程及二元一次不等式关系的问题. 可以结合作出的可行域，根据目标函数对应直线的方向和倾斜程度，确定在何处取得最值. 这类试题比较独立，相对容易掌握，主要是对直观想象和数学运算素养的考查.

四、不等式“跨界”综合问题

高考中的对不等式知识的考查常与函数、解析几何、数列、向量、三角函数等进行“跨界”综合. 下面结合三类常考的试题进行分析，体会、总结解决不等式综合问题的常见策略.

1. 比较大小问题

【评析】比较大小时，一般策略是将所求与特殊值（如[0，1]）进行比较. 该题根据已知条件先将[b，c]与[45]进行比较，然后再根据函数的单调性或运用作商（差）法进行比较. 比较大小的本质是对函数单调性的应用. 该题主要考查学生的逻辑推理和数学运算素养.

【评析】例12与例11类似，都是与指数函数、对数函数综合考查不等关系，解题的关键是能够发现共性，构造函数，利用函数的单调性进行求解. 主要考查函数与方程、转化与化归的数学思想，体现对学生数学抽象、逻辑推理、数学运算素养的考查.

2. 最值和取值范围问题

【评析】函数是高中数学的主线之一，是研究实际问题的主要工具，而导数是研究函数单调性、极值（最值）的有效工具. 不等式与导数的“跨界”考查主要从以下几个角度设计问题：（1）利用导数求函数的单调区间;（2）含参数不等式转化为对应函数最值;（3）实际生活中的优化问题. 一般来说，此类试题难度偏大，主要是对学生的数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学建模和数学运算素养的综合考查.

五、综述

不等关系在现实生活中广泛存在，相等关系与不等关系是对立统一的，因此，不等式与函数知识息息相关. 在复习过程中，建议注重理解不等式与函数等知识的内在联系，抓住客观事实的本质，在熟悉知识与方法的基础上，对问题进行灵活转化，逐渐提高分析问题和解决问题的能力.《普通高中数学课程标准（2017年版）》注重发展学生的“四基”“四能”，新高考立足“一核”“四层”“四翼”，通过高考命题实现“教、学、考、评”的一致化. 结合新高考命题的方向和对各地高考试卷的分析，给出如下不等式的备考建议.

1. 重强基

熟悉、理解有关不等式的基础知识和基本方法，规避易错点是解题的基础. 布卢姆认知目标分类学将认知领域分为记忆、理解、运用、分析、评价和创造六个层级. 熟练记忆、理解概念性知识和事实性知识，才能进行进一步的分析和创造. 例如，不等式[21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22 a>0，b>0]在試题中的应用频率较高，准确记忆并能在具体问题中识别出参数意义是正确运用的前提.

2. 结构化

在掌握不等式基础知识的基础上，还应注意知识结构化. 在知识的交会处命题是不等式高考命题的规律，因此在复习备考中应注重梳理知识和学科间的内在联系，把握不等式蕴涵的数学思想.

3. 会解题

阅读审题是解题的第一关，分析试题的结构有助于发现思维角度，进一步联想相关知识，合理分析、转化问题，综合运用数或形的方法，选择适当的解题方法，最终高效地解决问题. 在备考中，应该注重解题技巧的积累，注重养成从多种思维角度分析问题的习惯，注重解题反思，这样才能不断提高数学学科核心素养.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]杨学为. 中国高考报告（2020）[M]. 北京：社会科学文献出版社，2020.

[3]王祎，夏峰. 2019年高考“不等式”专题解题分析[J]. 中国数学教育（高中版），2019（7 / 8）：87-94.