浅议化归思想在高中数学解题中的运用

沈晓群

摘 要：无论是知识的难度和深度，高中数学知识都远超初中数学，这就需要学生具备良好的数学思维能力，才能提高解题的效率和质量。其中，化归思想就是高中生需要掌握的数学解题思想之一，掌握了化归思想可以有效的提高数学学习的效率。下面本文将结合高中数学的有关内容，就如何运用化归思想解决问题做如下分析。

关键词：高中数学;化归思想;解题;运用方式

前言：对于高中生而言，掌握正确的数学思想对其解答实际的问题起到一定帮助作用;而在实际教学中，化归思想贯穿了整个高中数学，是学生需要掌握的重要数学思想之一。为此，本文对化归思想在高中数学解题中的运用展开研究具有一定的意义。对于如何运用化归思想，本文从以下几点进行研究。

一、化归思想在解答函数问题中的运用

高中数学函数属于重点及难点内容，需要学生具备良好的数学思想，对问题进行一一的剖析，才能有效的找到解题的突破口，从而快速的解答问题。然而，在实际解答问题的过程中，很多学生往往拿到一道函数问题，没有经过仔细的思考和研究，就盲目地进行作答，不仅耗费了时间也增加了错误率。那么如何将函数问题简单化，引导学生运用正确的思路去思考问题，仍然需要教师采用合理的教学方法，培养学生具备良好的数学思想，才能有效地提高解题的效率和质量。其中，化归思想在解答函数问题中的运用具有一定的意义[1]。首先，教师可以引导学生应用化归思维方法将函数问题简单化;然后，利用已经学习过的概念去研究新函数问题的规律及特点，这有利于降低问题的难度，促使问题简单化。

我们以下面这道三角函数问题为例，如何推导和证明cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ？在这个题目中，如果学生不懂得应用化归思想去解决问题，势必会耗费很长的时间去解答题目，从而走入解题的死循环。所以，对于此类三角函数的证明题，我们可以运用化归思想，引导学生运用已经掌握的数学概念和方式去研究等式之间的关系，在等式中提取有价值的数学信息，从而运用有效地数学方法来进行解答。比如说，学生可以利用已经学过的向量概念及定义对题目进行假设，如假设平面上有a、b单位向量，而平面中（e1，e2）为标准正交基，其中a和e1的夹角是α，b与e2的夹角是β，条件α>β;因为向量a在（e1，e2）的坐标是（cosα，sinβ），向量b在（e1，e2）的坐标是（cosβ，sinβ），存在|a|等于|b|等于1，那么我们可以利用向量数量积的定义，得a*b=|a|*|b|cos（α-β）=cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ。可见，在分析一些三角函数证明题的时候，我们可以先回顾题目与所学知识之间是否有联系，以找到问题的性质及特点，思考是否可以利用已学的向量方法来可解答问题，从而实现解题思路的化归转换，进而缩短解题时间、提升解题的效率。

二、化归思想在解答几何问题中的运用

在高中数学中，几何问题也是学生一直比较头疼的数学问题。在一些考试过程中，大部分学生都选择放弃作答相关的几何问题，以获取更多时间去解答其它的数学问题。这些现象出现的原因主要还是学生没有具备良好的数学思想，从而找不到有效地解题方向，并不断徘徊在问题的边缘，无法深入到问题的核心部分，最终放弃问题的解答;而对于一些平面几何问题，我们可以应用化归思想来进行问题的思考和解决。化归思想可以使得部分平面几何问题简单化，同時也有助于学生产生丰富的知识联想，进而将抽象的几何问题进行一一的拆解，使得学生可以尽快的找到问题的本质，并有效地解答问题。

我们以下面这道简单的平面几何问题为例：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC，CC1上的点，CF=AB=2CE，AB：AD：AA1=1：2：4.正面AF垂直于平面A1ED.在解析这道几何问题时，我们一般可以利用代数的方法来研究几何，从而将几何问题进行代数化和数量化，最终将代数知识融入进几何问题的解答，以实现知识的回归利用，这是化归思想在几何问题中的应用体现。比如，我们可以应用空间向量的运算方式，对空间线面垂直问题进行分析，如利用向量法求出平面的法向量和直线的方向向量，证明线与面的垂直，进而快速证明几何问题。通过对几何问题的化归，有利于找到几何证明题的解题方向，最终实现解题效率的提升。

三、化归思想在解答方程问题中的运用

代数方程也是高中生学习的重点，特别是高中阶段的方程问题，已经由简单的一次方程过渡到了高次方程问题的解答。无论是方程问题的难度和深度，都远比初中方程要难和深。但是，在解答方程问题时，我们也应该懂得运用化归思想，利用数学中最基本的思想方法，将复杂的问题进行转化和变形，从而找到问题的关键点和突破口，最终顺利地解答数学方程问题[2]。那么在整个解答问题的过程中，教师需要有意识地引导学生运用化归方法，对方程问题进行归纳，让学生对方程问题进行仔细的研究和探讨，才能从复杂的问题中找到规律，从而将方程问题化归为最简单的低次方程。

我们以这道题目为例：X4-25X2+144=0.在解答该方程时，我们先引导学生对方程进行适当的变形和转化，从而将高次方程转化为低次方程，这有利于学生去解答方程问题。比如，我们可以将方程中的X2=Y，这样方程就可以转变Y2-25Y+144=0的一元二次方程，从而让学生可以转化解题的思路，运用熟知的方程解答方式对高次方程进行解答，最终快速地获得问题的答案。所以，无论是解答什么问题的方程，学生都不能遇到问题就退缩，需要懂得从知识中来到知识中去，运用自己所学的知识和经验，对问题进行化归，尽可能降低问题的复杂程度，最终找到问题的规律，以快速的解答问题。

四、结语

总之，在解答数学问题时，学生需要懂得运用化归的思想，从多维度去思考问题的解答方向，将已学概念与新问题进行联系，以尽可能降低问题的复杂性，最终找到比较容易的解题程序和方法。

参考文献

[1]李昀晟.化归思想在高中数学解题过程中的应用分析[J].数学理论与应用，2015，19（24）：124-128.

[2]樊朝峰.例谈化归思想在中学数学解题中的应用[J].数理化解题研究，2016，32（11）：9-9.