反证法在不等式证明方法中的应用

摘要：证明不等式一直是数学学习的重点和热点问题之一，本文简单地介绍了不等式的相关性质，对反证法做了简单的介绍，详细地分析了反证法在不等式证明方法中的应用.不等式在数学领域占有十分重要的位置，渗透到数学的各个层面.

关键词：不等式;反证法;证明方法

一、不等式的发展历史

在小学的数学学习过程中，不等式一直扮演着非常重要的角色，且不等式的证明一直是重点和难点问题之一.相比于等式，不等式的存在则更加广泛，所以人们很早就意识到不等式的存在，但是真正的理论发展是在17世纪以后，从此不等式逐渐成为数学基础理论的一部分.

不等式最早的时候只是一些零乱孤立的公式，并不是一套系统的科学理论，但一切在1934年发生了变化，由剑桥大学出版的Inequalities标志着数学不等式理论及其研究正式粉墨登场，自此不等式成为了一门新兴的数学学科，形成了一套比较系统、完善的科学.

历史上，中国数学家取得了卓越辉煌的成绩，如华罗庚、林东坡等.近年来，也涌现出了很多数学教育工作者，他们也在不等式的发展前途上，起了推波助澜的作用，他们开展了一系列创新性的工程，而且也取得了骄人的成绩，他们将不等式的新发现推向世界各地.

二、不等式的基本性质

不等式的基本性质1 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变.

一般地，如果，那么或者.

不等式的基本性质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变;不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.

一般地，如果，并且，那么;如果，并且，那么.

例1 利用不等式的性质求不等式的解集？

不等式的基本性质是通过类比等式的基本性质探索得出的，唯一不同点就是两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.在初中数学的学习中，把握好不等式的性质，才能更好的将不等式学好，才能在考试中更游刃有余.

三、反证法

反证法：先假设证明的结论是错的，然后通过严密的逻辑推理得出矛盾，否定假设，从而确定结论的正确性.反证法在数学中的适用性很强，当题目很难从正面证明时，就需要反证法.

总结：反证法主体思路：提出假设（否定命题）证明矛盾（矛盾可以是：① 与已知条件相互矛盾;② 与原题假设相互矛盾;③ 与公式定理事实等相互矛盾）得到肯定.当题目从正面不易解决时便使用反证法.当题目中有“都”，“至少（多）”，“唯一”等词时多使用反证法.

四、结束语

在利用反证法证明不等式时应该注意以下几点：（1）应该去否定结论，即假设结论的反面成立，当结论的反面呈现多样性时，必须把所有可能的结论一一列出来.（2）把结论的对立面当作条件，然后根据这一条件去推理证明.（3）推出的矛盾呈现多种可能性，有时会与已知条件冲突，有时与实际情况相悖.

在初中数学的学习中，不等式占据了很重要的一大部分，把不等式学好了，就能树立学习数学的自信心，增强学习的兴趣.尤其是用反证法在证明不等式时起着非常重要的作用.对于一些较为复杂的不等式的证明题，有时采用反证法会使得问题变得相对简单很多，在具体的学习实践中我们应该熟练掌握反证法，当问题来临时我们可以迅速反应过来，从容不迫地把不等式问题解决.

通过这么多年的学习，我们深深的感觉到不等式的广泛性、重要性、和困难性.不等式贯穿于数学的各个角落，所以说要学好数学必须在不等式上打下不错的基础.本文主要研究了用反证法来证明不等式.事实上，只用一种方法便能解决一道题目是不现实的，需要各种方法共同合作，这就要求我们可以掌握好每一种方法.关键是要学会举一反三，把方法融会贯通，这樣将来面对更加困难的题目时才不会犯难.

参考文献：

[1] G.H.Hardy，J.E.Littlewood，G.Plya，Inequalities[M]，English：Cambridge University Press，1934.

[2] 匡继昌，常用不等式[M]，湖南：湖南教育出版社出版.1989，6.

[3] 魏贵民，微积分（上）[M]，北京：高等教育出版社，2004.

作者简介：梅蒙蒙;男（1989-7-20）;安徽亳州;汉族;硕士;中学二级教师;研究方向：数学

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