静摩擦因数临界问题的探讨

沈静

摘 要：力学作为物理课程的重点研究领域，对初步培养学生的理论物理思维和研究方法起着至关重要的作用.本文着重探讨了在静摩擦系数足够大的情况下，两物体间分离时摩擦力突变情况.本文的研究具有一定理论价值，为相关的研究提供了参考.

关键词：静摩擦力;临界问題;解题策略

在物理研究领域，为方便分析，需要进行一定的简化处理，比如对接触的两个物体在静摩擦因数很大条件下，一般需要适当化简，不过在化简时，应该注意到相关状态改变，避免出现临界问题而导致错误.

例 如图1，在水平面上，存在一个竖立的图1匀质直杆子，其长为2α、质量为m，和地面的静摩擦因数足够大.对其施加一微扰，而开始自由倒下，杆的下端开始脱离地面时，求解其与竖直方向夹角为多大？

（1）确定出分离时的状态

具体情况如下，初始条件为初始离地瞬间，根据机械能守恒定律进行分析可知，存在关系式

（3）问题分析

本题为直杆与地面分离相关的临界问题，临界分别为前一个状态的末态，以及后一个的初态，表现出一定的过渡属性.具体分析可知，在静摩擦因数充分大情况下，两个物体接触的正压力不为零，静摩擦力表現出一定的变化性.在此临界条件下，正压力趋于零，不过也有一定大小的静摩擦力，而在分离后则摩擦力为零.由此可判断出在此条件下，分离前后，摩擦力会大幅度改变，且对应的加速度同样的改变.而以上例子在进行求解时，没有将分离前、后瞬间划分开而导致错误.公式⑤计算分析确定出的为分离前瞬间加速度，此条件下正压力已经很小，但仍存在一定摩擦力.因而⑥式正确，⑦式由于没有区分分离前后而出错.因而在实际的应用过程中为避免出现这类问题，应该确定出对应的状态为分离前还是分离后瞬间，在前一种条件下应该分析一定大小的静摩擦力.

（4）过程分析

图2显示了二者的关系曲线，具体分析可知在此变化过程中，弹力N逐步趋于零，而分离前瞬间f向左，而在分离后则变为零.

（5）拓展应用

以上在举例分析基础上，讨论了静摩擦因数充分大条件下，物体分离前后的摩擦突变问题，接着对类似的问题进行分析.如图3所示，将一个小球放在半圆柱顶图3端，小球的质量为m、半径为r，半圆柱体的截面半径为R=7r、质量为M=1.5m，假设二者间的静摩擦因数充分大，适当对小球一微扰促使其滚下.计算出在两种状态下小球与圆柱脱离时，对应的θ数值.

①半圆柱固定时，小球与圆柱脱离时的θ;

②半圆柱和地面间无摩擦时，小球与圆柱脱离时的θ.

第1种状态下，初态到任意角度θ过程中，根据机械能守恒定律分析可知存在关系式

这种条件下二者间的摩擦力为0.217.而在半圆柱系下进行临界分析时，应该讨论惯性力因素，在此存在一种常见的错误观点为，分离后瞬间半圆柱在水平方向不受力，而将分离的条件表示为：

在此应该注意到在分离前瞬间，圆柱已经出现一定的运动，在受力作用下圆柱体开始减速.这种现象表现出一定反常性，具体分析此现象出现原因为，设定了“静摩擦因数足够大”，不过进一步分析可知这种现象虽然 “反常 ”但依然符合物理规律，可基于相应的定律进行分析求解.

参考文献：

[1]张启明.经典力学[M].北京：科学出版社，2002（1）：34.

[2]周衍柏.理论力学教程[M].北京：高等教育出版，1986（3）：76-89.

[3]吴德明.理论力学基础[M].北京：北京大学出版社，1995：98-101.

[责任编辑：李 璟]