求解一对解三角形中的最值问题

摘 要：文首的題目（1）是网络、杂志中频繁出现的一类解三角形中的最值问题的一般情形，其逆问题也值得研究.文章给出了这一对解三角形中的最值问题的完整解答，其中建系解法新颖简洁.

关键词：解三角形;最值;逆问题;解答

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2020）22-0007-02

题目 设△ABC的三边长分别是a，b，c，p，q，r均是已知数且q+r>0，pq+pr+qr>0.

（1）若pa2+qb2+rc2=s，则△ABC面积的最大值为;

（2）若△ABC的面积是S，则pa2+qb2+rc2的最小值为.

解法1 设△ABC的长为c的边所对的角是C.由q+r>0，pq+pr+qr>0，可得（p+r）（q+r）=pq+pr+qr+r2>r2≥0，p+r>0.

（1）s4pq+pr+qr.设△ABC的面积为S，由S=12absinC，可得2ab=4SsinC.

由余弦定理及均值不等式，可得

s=pa2+qb2+rc2=pa2+qb2+r（a2+b2-2abcosC）

=（p+r）a2+（q+r）b2-2abrcosC≥2ab[（p+q）（q+r）-rcosC]

（当且仅当（p+r）a2=（q+r）b2时取等号），

所以s≥4SsinC[（p+q）（q+r）-rcosC]，

ssinC+4rScosC≥4S（p+q）（q+r）.

又因为s2+16r2S2≥ssinC+4rScosC（当且仅当

scosC=4rsinC（C是锐角）时取等号）.

所以s2+16r2S2≥4S（p+q）（q+r）

S≤s4pq+pr+qr

还可得当且仅当（p+r）a2=（q+r）b2，scosC=4rSsinC（C是锐角）pa2+qb2+rc2=s

时，Smax=s4pq+pr+qr.

即当且仅当（p+r）a2=（q+r）b2，s·a2+b2-c22ab=4r·s4pq+pr+qrsinC（C是锐角），pa2+qb2+rc2=s，也即

（p+r）a2=（q+r）b2，a2+b2-c22ab=rpq+pr+qrsinC（C是锐角），pa2+qb2+rc2=s，

（p+r）a2=（q+r）b2（a2+b2-c22ab）2

=r2pq+qr+rp

[1-（a2+b2-c22ab）2]（a+b2+c2），

（p+r）a2=（q+r）b2，a2+b2-c22ab=rpq+pr+qr，pa2+qb2+rc2=s，

（a，b，c）=（s（q+r）2（pq+pr+qr），s（p+r）2（pq+pr+qr），s（p+q）2（pq+pr+qr））

时，Smax=s4pq+pr+qr.

（2）4Spq+pr+qr.设s=pa2+qb2+rc2.同（1）的解答，可得

s≥4SsinC[（p+r）（q+r）-rcosC]

（当且仅当（p+r）a2=（q+r）b2时取等号），

ssinC+4rScosC≥4S（p+r）（q+r）.

又因为s2+16r2S2≥ssinC+4rScosC（当且仅当scosC=4rScosC（C是锐角）时取等号），

所以s2+16r2S2≥4S（p+r）（q+r），

s≥4Spq+pr+qr.

还可得当且仅当

（p+r）a2=（q+r）b2，4Spq+pr+qrcosC=4rSsinC（C是锐角）pa2+qb2+rc2=4Spq+pr+qr，时，

smin=4Spq+pr+qr.

即当且仅当

（p+r）a2=（q+r）b2，（pq+pr+qr）cos2C=r2（1-cos2C）（C是锐角），pa2+qb2+rc2=4Spq+pr+qr，也即

（p+r）a2=（q+r）b2，a2+b2-c22ab=r（p+r）（q+r），pa2+qb2+rc2=4Spq+pr+qr，

（a，b，c）=2S（q+r）pq+pr+qr，2S（p+r）pq+pr+qr，2S（p+q）pq+pr+qr时，smin=4Spq+pr+qr.

解法2 设BC=a，CA=b，AB=c，△ABC的面积为S.

可如图1所示建立平面直角坐标系xBy，并可设A（x1，y1）（y1>0），C（x2，0）（x2>0），得S=12x2y1，x2y1=2S.

（1）s4pq+pr+qr.

由两点间距离公式，可得

s=pa2+qb2+rc2=px22+q[（x1-x2）2+y21]+r（x21+y21）

=（q+r）x1-qq+rx22+pq+pr+qrq+rx22+（q+r）y21

≥pq+pr+qrq+rx22+（q+r）y21≥2pq+pr+qrx2y1=4Spq+pr+qr

所以S≤s4pq+pr+qr，当且仅当

x1=qq+rx2，pq+pr+qrq+rx22=（q+r）y21（x2>0），12x2y1=s4pq+pr+qr，

即x1=qs2（q+r）（pq+pr+qr），x2=s（q+r）2（pq+pr+qr），y1=s2（q+r），

也即a=s（q+r）2（pq+pr+qr），b=s（p+r）2（pq+pr+qr），c=s（p+q）2（pq+pr+qr）时，Smax=s4pq+pr+qr.

（2）4Spq+pr+qr.设s=pa2+qb2+rc2.同（1）的解答，可得s≥4Spq+pr+qr，所以当且仅当x1=qq+rx2，pq+pr+qrq+rx22=（q+r）y21（x2>0），x2y1=2S，

即x1=q2S（q+r）pq+pr+qr，x2=2S（q+r）pq+pr+qr，y1=2Spq+pr+qrq+r，

也即a=2S（q+r）pq+pr+qr，b=2S（p+r）pq+pr+qr，c=2S（p+q）pq+pr+qr，时，smin=4Spq+pr+qr.

参考文献：

[1]甘志国.例谈用三角换元法解题[J].数理化学习（高中版），2018（11）：6-9.

[责任编辑：李 璟]