高等数学慕课翻转课堂教学中的经典案例设计与研究

谭艳祥 胡海军 谌跃中

[摘 要]慕课教学在现代大学教学中应用越来越广泛，尤其是今年受疫情的影响，网络教学发挥了极其重要的作用。结合高等数学慕课教学的特征，在翻转课堂教学中如何设计案例，既达到教学目的的要求，又能符合翻转课堂教学课时少、综合性强的特点，显得非常重要。该文就如何在三角函数定积分的计算中设计经典的例题、如何通过一个例题达到教学要求展开了研究。

[关键词]慕课;翻转课堂;高等数学;案例设计

[基金项目]2016年度湖南省教育厅教研教改项目“基于慕课的翻转课堂教学模式实践研究—以‘高等数学课程为例”（JG1621）;2019年度长沙理工大学专业认证示范课程建设项目“高等数学金课建设”（60）

[作者简介]谭艳祥（1980—），男，湖南茶陵人，博士，长沙理工大学数学与统计学院讲师，主要从事微分方程及其应用研究。

[中图分类号] G642[文献标识码] A[文章编号] 1674-9324（2020）33-0276-02[收稿日期] 2020-04-08

一、高等数学慕课翻转课堂教学中经典案例设计的必要性

（一）课程特征

高等数学课程是大学理工科学生的一门必修课程，而该门课程是理工科专业学生学习后续专业课程的一门基础课程，如果高等数学没有学好，对后续专业课程的学习影响很大。由于高等数学教学课时长、内容多，大部分同学对高等数学的学习存在畏难和恐惧的心理，因此在高等数学教学过程中有必要设计经典的案例。

（二）慕课教学特征

慕课教学与传统的课堂教学一个很大的区别在于，学生利用网络资源已经对教学内容中基本概念、基本方法、基本理论有了一定的掌握，一些基础的计算问题学生能够通过慕课学习而掌握，因此需要教师设计一些经典的案例来进行教学[1，2]。

（三）翻转课堂特征

在学生通过慕课学习以后，教师在组织翻转课堂教学时需要对教学内容进行浓缩串讲以及对学生存在问题进行高度的总结和分析。然而，翻转课堂教学的课时数已经大大减少，所以如果能通过一道经典的例题把学生学习的内容和存在的问题分析清楚，那是最好不过的事情了[3]。

下面我们就翻转课堂教学中关于“被积函数为三角函数时定积分计算”这一知识点如何通过一个例题来组织教学进行教学设计。

二、高等数学慕课翻转课堂教学中的经典案例设计与研究

1.例题的选取。本文将通过以下例题来组织“被积函数为三角函数时定积分计算”慕课翻转课堂教学。

经典例题：                      .（n为自然数）

2.方法一：取特殊值法1。

解：不妨取n=0，原式

【方法小结】（1）此法能快速地得到问题的一个答案。（2）此法能顺带复习定积分的性质：被积函数为1时，定积分等于区间长度。（3）此法的弊端是这仅仅是一个特殊的情况，引导学生思考：n取别的自然数时答案会不会改变？答案是否与n有关？

3.方法二：取特殊值法2。

解：不妨取n=2，

或者（华里士公式）

【方法小结】（1）此法也能比较快速地得到问题的一个答案;（2）此法能顺带复习三角函数定积分的降幂法（半角公式）以及华里士公式;（3）此法的弊端是这也仅仅是一个特殊的情况，但是结果和前面方法一样，引导学生思考：此题结果是否真的与n无关？

4.方法三：特殊值法3。

解：不妨取n=1，

【方法小結】（1）此法也能得到问题一个答案。（2）此法能顺带复习的知识点有：正弦函数与余弦函数导数之间的关系;待定系数法进行裂项;一些基本的积分公式巩固。（3）此方法一个最大的作用是能启迪学生进一步探索一般情况：，可作为学生课后思考的问题，提高课程学习的高阶性和学生探索知识的能力。（4）同样，此法也仅仅是一个特殊的情况，但是结果前面方法一样，进一步引导学生思考：此题结果是否真的与n无关？一般情况下应该如何处理？

5.方法四：常规方法。

解：换元法，设，

所以：

故：

【方法小结】（1）通过常规方法得到了该题的解答。（2）此法能顺带复习的知识点有：定积分换元法的基本步骤;定积分只与被积函数和积分区间有关，观察两者的特点，是我们解决定积分的突破口;定积分计算的线性性质;定积分与被积函数用哪个字母表示没关系，等等。（3）此方法的应用与推广：对于，我们可以令做换元，

从而：

此种换元法的最大优点是：换元前后能确保积分上下限保持不变，从而可以利用积分的线性性质求其和的一半来计算，当被积函数满足一定的性质时，往往会有不一样的效果。比如，当积分区间关于原点对称、被积函数具有奇偶性的时候就是学生慕课学习时候的特殊情况。另外，还可以通过该问题的几何解释，来提高学生的学习兴趣，极大地满足了不同学生的需求。（4）问题探索：能否考虑“万能公式”换元法来解决该问题？可作为学生进行慕课学习的下一个任务，在下一次翻转课堂教学中进行讲解，起到了承上启下的作用。

三、融入课程思政元素

通过对该问题的分析和讲解，我们可以给学生传达这样的思想：做科学研究没有一步到位的成果，引导学生在学习和科研当中要脚踏实地、由易到难、由特殊到一般，充分发挥艰苦奋斗的精神，永攀高峰，不要畏难，坚持到最后一定会取得满意的结果。

四、结束语

本文就高等数学慕课翻转课堂教学中的“被积函数为三角函数时定积分计算”展开了设计和研究，通过合理选择经典的例题，不仅能在翻转课堂上串讲、巩固、归纳基本知识点，也能激发学生学习的兴趣，在作者的教学实践过程中取得了不错的教学效果。

參考文献

[1]陈灵波.微课和翻转课堂在高等数学教学中的应用[J].黑龙江科学，2020，11（3）：25-27.

[2]刘彩云.基于微课的翻转课堂在高等数学教学中的研究[J].铜陵职业技术学院学报，2018，17（4）：93-96.

[3]冯倩倩.基于微课的高等数学翻转课堂教学模式的研究与实践[J].科技视界，2018，（1）：66-67.

The Design and Research of Classic Cases in Flipped Classroom Teaching

of MOOC in Higher Mathematics

TAN Yan-xiang， HU Hai-jun， CHEN Yue-zhong

（School of Mathematics and Statistics， Changsha University of Science & Technology，

Changsha， Hunan 410114， China）

Abstract： MOOC is becoming more and more widely used in modern university teaching. Because of the impact of the epidemic this year， online teaching has played a very important role. Teaching design not only needs to meet the requirements of teaching goals， but also needs to meet the characteristics of flipped classroom teaching with less hours and strong comprehensiveness. In flipped classroom teaching， it is very important to design cases based on the characteristics of Advanced Mathematics MOOC teaching. This article has launched a research on how to design classic examples in the calculation of definite integrals of trigonometric functions， and how to achieve teaching requirements through an example.

Key words： MOOC; flipped classroom; Advanced Mathematics; case design