平行线分线段成比例定理的三类应用

◇ 山东 王德康

平行线分线段成比例定理是三角形相似问题的进一步拓展,也为证明三角形内角平分线定理提供了依据,在考查中也常常独立作为考题出现.下面我们就结合实例,来看一看平行线分线段成比例定理的三类典型应用问题.

1 长度求解问题

图1

2 线段相等问题

图2

图3

3 直线平行问题

图4

证法1如图5,延长AD至G,使DG＝MD,连接BG,CG,因 为BD ＝DC,MD ＝DG,所以四边形BGCM 为平行四边形,所以EC∥BG,FB∥CG,所以,所以,所以EF∥BC.

图5

图6

证法2如图6,过A 作BC的平行线,与BF,CE 的延长线分别交于G,H,因为AH ∥DC,AG∥BD,所以,所以,因为D 是BC中点,所以BD ＝DC,故AH ＝AG,因为HG∥BC,所以,又因为AH ＝AG,所以,所以EF∥BC.

在利用平行线分线段成比例定理解决实际问题时,往往需要借助一对中间比来达到解决问题的目的.因此我们应注意找到平面几何图形中的点与线的位置关系,合理、正确地添加相应的辅助线,构造对应的中间比,使问题找到通路,从而快速地解决.