永不“重复”的镶嵌图案

张旭颖 靳铭宇

周期性密铺与非周期性密铺

重复排列某一单元形，使其能够不留任何缝隙且完全无重叠的填满自身所在的整个空间，叫做图形的密铺。显然，正方形、正三角形和正六边形是可以的。首先，正方形、正三角形、正六边形的边长具有等长性。除此以外，正方形四个内角均为90度;正三角形三个内角均为60度，正六边形六个内角均为120度。它们的内角都是360度的约数。但通过正五边形在进行平铺时，不能做到无缝拼接，因为正五边形的每个角的度数为108度，如果3个正五边形进行拼接，那这3个正五边形的角度之和为324度，而4个正五边形进行拼接的话，度数之和就变成为432度，均不等于360度，因此，只用单纯的正五边形无法进行平面的无缝的周期性密铺。

正多边形的密铺

但如果我们用另一种形状来补全正五边形拼接图案缺口的话，就可以得到密铺的平面。实际上，若采用多种形状的瓷砖互相组合，无穷尽的密铺图案就会随之出现。值得注意的是，这种方法得出的图案与正方形密铺的图案有所不同，正方形所组成的图案具有平移对称性，例如若将正方形密铺平移一个正方形的长度，则可以得到相同的图案，它存在正方形这个可自我重复的单元形，即它是周期性的;而采用多种形状互相组合的图案则可能是非周期性的，如果将图案分割无穷次，它们就可以被看做是铺展在无穷平面上，由此便能算出两种贴砖数量的整体比例，对于这种计算，重复图案的比例一定是有理数，如果不是，就说明图案永远不会完全重复。

彭罗斯镶嵌不重复的奥秘

1973年，英国数学家和物理学家罗杰·彭罗斯提出了一种具有五次旋转对称的拼图。正五边形可以分割为六个小的正五边形和五个三角形，而对小五边形进行再分割后，就产生了一个五角星形和一个类似帆船的形状。这4种形状以不规则、非周期的方式延展，只利用这4个形状，就能对平面进行密铺，而不存在一個可重复的单元形。这就是非周期性的镶嵌图案。随即，这种密铺图案被命名为P1型彭罗斯镶嵌。

正五边形的分割

第二年，彭罗斯又对这些形状进行修改，他将一个菱形分割成两部分，他运用这分离的两部分，创造出了一种新型的拼接方式。这两种图案分别形象地被称为“风筝”和“飞镖”。这便是P2型彭罗斯镶嵌。

但无论是风筝形还是飞镖形，这些角的度数，都是36度的整数倍，而这几种度数通过不同的组合方法，都可以组成360度，此外，菱形的四条边具有等长性，且分割出的飞镖和风筝的边都有互相对应的等长的边。边缘可以完全对应，角度也可以完全对应，因此，飞镖形和风筝形可以进行平面的无缝拼接。

P2 型彭罗斯镶嵌，由风筝形和飞镖形构成

而彭罗斯创造出的第三种非周期平面图形密铺方案（P3型彭罗斯镶嵌）是由一个36度、72度菱形和一个72度、108度菱形构成的。这三种镶嵌方式本质上都是五重旋转，只是表现形式不同。

暗藏玄机的彭罗斯镶嵌

彭罗斯发明的图案的拼接方式，实际上是把人工发明的黄金比例的数学概念与日常生活中的数学关联到了一起。 P1型的彭罗斯镶嵌通过五边形的不断膨胀、不断延伸而成，它的膨胀率为黄金分割值的平方;P2型彭罗斯镶嵌中，两个飞镖与风筝图案膨胀一次后其风筝图案和飞镖图案的数量之比等于黄金分割值; P3型的基础图形为菱形，经过一次延伸后，面积为原来的黄金分割值的平方倍，它们都和黄金分割有着密不可分的联系。也许这也是它们看起来如此美妙的原因。

由“风筝”和“飞镖”组成的图案，看似规律，其实永远不会自我重复

彭罗斯镶嵌在建筑上的应用——美国旧金山公交枢纽大楼

数学的吸引力就在于此，它将思维渗透至身边不起眼的事物中，又蔓延至浩瀚无边的宇宙。俄罗斯数学家罗巴切夫斯基曾说：“不管数学的任一分支是多么抽象，总有一天会应用在这实际世界上。”用思考的眼光看世界，你会发现，从不起眼的地砖到飞在天空的风筝都蕴含着数学的魅力。