北京大兴国际机场的几何探秘

曲线——建筑与数学

的“碰撞”

北京大兴国际机场超越了迪拜世界中心（以阿勒马克图姆国际机场为中心的航空城计划） ，成为世界上最大的单体航站楼，每年运送旅客多达1亿人次，飞机起降80万架次。从空中鸟瞰坐落于北京永定河北岸的机场航站楼，其造型瑰丽、气势恢宏，宛如一只耀眼的凤凰，神秘而魔幻。当抵近航站楼的中心位置，呈现在人们眼前的是一个规模宏大的六芒星构型。

大兴国际机场在建筑结构上有很多光滑的曲线，仰望穹顶，航站楼屋顶的钢架结构，被两簇彼此垂直的曲线结构剖分，和谐优雅，流畅灵动。如此优美的形态在几何学中对应着一个非常深刻的数学几何概念——黎曼叶状结构。

北京大兴国际机场的棚顶结构是六芒星（绘图 / 顾险峰）

看那自由弯曲的曲面，肆意张扬的曲线，只要对建筑艺术稍有了解的人一眼就可以辨认出这是建筑界“女魔头”扎哈·哈迪德的作品。没错，北京大兴国际机场正是扎哈的遗世绝唱——天鹅之歌。

建筑设计的几何分析

数学专业出身的扎哈·哈迪德创立了一个新的学派，这个学派最大的特点就是用黎曼几何来取代欧几里得几何。在欧几里得几何理论中，地是平的，墙是直的，窗户都是方正的，看起来非常中规中矩。而扎哈把一切变成了曲面，在曲面上设计非常复杂的曲线，她因此也被称为“曲线之王”。扎哈的设计一次又一次颠覆人们想象的极限，让我们认识到原来建筑也可以在大地上纠缠盘绕、奔腾流淌、破碎融合、蜷曲弥散。

扎哈彻底解构了传统的建筑美学标准，大胆运用黎曼几何结构来构造空间，其设计使得建筑挣脱了重力的羁绊，在空中自由翱翔，标志性的曲线更给她带来了无数的赞美和争议。

那么，从几何学的角度如何来评价扎哈的设计作品呢？扎哈的本质突破在哪里？其作品是不切实际的产物吗？还是归结为几何的必然？我们可以从现代拓扑（拓扑学是研究几何图形或空间在连续改变形状后还能保持不变的一些性质的学科）和几何学角度来领略扎哈·哈迪德设计的精妙之处。

曲率突破

在传统建筑行业，几乎所有的作品都是横梁、立柱、平墙、方窗，泾渭分明。换言之，几乎所有的建筑表面都是平直的，高斯曲率几乎处处为零。这意味着传统建筑是基于欧几里得几何设计和建造的。只有极少数天才的设计突破了零曲率几何，安东尼奥·高迪和扎哈·哈迪德便是这样的特例。

在长达数千年的人类历史长河中，人类一开始认为平直的欧几里得几何是天然的、唯一真实的几何，直到爱因斯坦创建了广义相对论，人类才意识到原来自然时空是弯曲的，黎曼几何才是世界的真实图景。扎哈肆无忌惮地使用黎曼几何进行建筑设计，从这个角度而言，扎哈使人类明白了真实的建筑世界应该是弯曲的黎曼几何。

拓扑突破

澳门新濠天地酒店的拓扑解释，大楼的表面有3 个环柄（绘图 / 顾险峰）

拓扑学又被称为是橡皮膜的几何学。假设曲面由橡皮膜制成，我们将曲面拉伸挤压，扭转撕扯，但是保证不撕破，不粘连，变形后的曲面保持拓扑不变。封闭曲面的拓扑复杂度主要是由所谓的“亏格”来决定。直观而言，亏格就是“环柄”的个数。比如球面没有环柄，因此亏格为0;轮胎表面有一个环柄，因而亏格为1。在传统建筑中，几乎所有的楼宇都是简单的拓扑球面（即大楼的整体表面没有环柄）。扎哈以睥睨天下的气魄，将高亏格曲面大胆应用在建筑设计中。扎哈的另一件作品——澳门新濠天地酒店大楼的表面就是一张有着3个环柄的黎曼曲面。在三维欧几里得空间中的曲线可以彼此缠绕，从而形成各种纽结。大兴机场内部栈桥被设计成纽结结构。这些复杂的拓扑构型，在传统建筑中极为罕见，这是扎哈在拓扑构型方面的突破。

同为扎哈作品的北京望京Soho 大楼表面被分解成彼此平行的圆圈，这些圆圈构成了曲面的一个黎曼叶状结构

叶状结构的美学价值

三个彼此不同的黎曼叶状结构，在奇异点处，叶子形成三岔路口

身为曲线之王，曲面的叶状结构成为扎哈的终身标志。扎哈设计的建筑物表面被分割成柔美流畅的一簇曲线，灵动而和谐。在几何上这对应着黎曼叶状结构这一概念。叶状结构本有落叶层叠之意，本质上是具有美学价值的结构。實际上，扎哈设计的叶状结构都是调和叶状结构，也是最为自然的叶状结构。将每片叶子在曲面上自由滑动，使得这些叶子的分布尽量流畅光滑，这种形变不会改变叶状结构的整体拓扑性质，但是会增加叶状结构的美学价值。

小猫曲面的黎曼叶状结构，除了几个奇异点之外，曲面整体被分解为封闭圆圈，局部上看，这些圆圈彼此平行（绘图 / 顾险峰）

我们从几何学角度对扎哈的建筑设计理念进行了分析，将北京大兴国际机场整体设计思想归结为共轭调和叶状结构及奇异点。令人惊讶的是，扎哈仅仅凭借敏锐的审美，就从本质上深刻洞察到这些抽象的几何理论，掌握了调和叶状结构的精髓，并且用建筑言语来向世人传达。

北京大兴机场的设计结构具有极强的刚性，可以说是牵一发而动全身，这意味着扎哈貌似惊世骇俗、大胆狂放的设计实际上是基于严格精密的理性和深邃的思想。与其说扎哈颠覆了旧世界，不如说她使人们解放了思想，使得“横平竖直”的僵硬设计更加贴近自然。这正是建筑艺术家与数学家无与伦比的伟大之处：对人世英勇无畏，对自然敬畏纯真。

大兴机场内部钢架结构的调和叶状结构和奇异点，完美地呈现了建筑艺术和数学的结合

延伸阅读

关于黎曼叶状结构的深入思考：

 为什么一定是六芒星？而不是五芒星或者七芒星？

具有不同度奇异点的叶状结构（绘图 / 顾险峰）

红色和蓝色的曲线是两簇共轭调和叶状结构，奇异点具有六芒星结构（绘图 / 顾险峰）

仔细观察左图中的最左帧，沿着格线，我们的确能够得到两簇彼此共轭的调和叶状结构。但是，图中最右帧，沿着格线，我们得到的不止两簇圆圈，并且每簇圆圈都无法覆盖整个曲面。换言之，右帧的任意一簇局部彼此平行的圆圈都无法构成曲面的叶状结构。理论上，曲面上的叶状结构的奇异点通常是如图左帧所示那样，局部是一颗六芒星。左二帧中度为8的奇异点不稳定，经过微小扰动，可以分解成两颗六芒星。因此，大兴机场的六芒星构型本质上代表了调和叶状结构的稳定奇异点（唯一）结构，这是几何原理所限制的必然。扎哈的极端理性和审美导致了唯一的设计方案。扎哈天才地悟到了调和叶状结构的唯一性和奇异点结构的唯一性。

 在一般曲面上，共轭调和叶状结构的奇异点有怎样的特點？ 

调和叶状结构具有很强的刚性，刚性意味着如果所有的奇异点位置确定下来，那么相应的叶状结构也就确定下来。对于设计而言，要么不改，要么整体大改，局部微调是不可能的。并且所有的奇异点之间存在很强的约束，随意给定几个点，基本上不存在以这些点为奇异点的调和叶状结构。