古建筑里的数学密码

周江

建筑学中的几何鼻祖

——矩形

几何学的起源十分久远，而促进几何学产生的直接原因便是古人社会实践中的土地测量及天文活动。在古埃及时期（公元前4000年），由于尼罗河水泛滥，每次泛滥后都要重新丈量土地，古人便称之为“测地术”。由此便产生了关于几何形体的概念及其度量方面的知识。如今的“几何”一词源于希腊语，本意就是指测量术。明末中国学者徐光启译为“几何”并沿用至今。

《万物的真是原理》中关于几何学的插图

长方形单体建筑结构示意图

自然界中常见的简单几何形状是太阳、月亮、植物、果实等圆、球、圓柱形状，几乎找不到矩形和立方体的几何形状。而在建筑学中矩形可以不留缝隙地四方连续延展或者划分，而立方体可以平稳地堆垒架设。

自古以来，矩形就是建筑的基本样式，因为每一个建筑都有长、宽和高。以中国古建筑为例，一座传统的长方形建筑，在平面上有两种尺度，即宽与深。其中长边为宽，短边为深。如一栋三间北房，它的东西方向为宽，南北方向为深。

在以矩形为主要建筑形态的建筑中，都能体现出对美学及力学因素的追求。矩形和很多图形一样，都由单边拼成，这样做的好处便是利于划分建筑格局，不容易造成建筑死角，视觉效果好。另外，矩形建筑墙都在梁下面，稳定的框架结构，明确的受力。在内部空间的延展性方面，矩形房间有利于提高空间利用率，让内部空间比较容易布置，也更能显出布局的合理性和节约性。

建筑学中的拱形始祖

——叠涩

芝加哥学派建筑师路易斯·沙利文曾经说过：“拱是最富情绪的构件。它充满可能性及展望，并富有创造力。”著名媒体人安迪鲁尼更是将拱形称之为欲掉落的曲线之美。

古罗马拜占庭的帆供

“拱”结构建筑作为应用较广的建筑结构之一，闻名中外的例子数不胜数。国外有柬埔寨吴哥窟的叠涩拱或假拱结构、古罗马拜占庭的帆拱建筑（也称作割球壳）、伊斯坦布尔的圣索菲亚大教堂以及古罗马时期的半圆拱、筒拱、十字拱、肋拱等各类拱形结构。而在中国的历史长河中，更有世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥——赵州安济的赵州桥，除此以外，北京宛平的卢沟桥、江苏苏州城南的宝带桥、江苏无锡卫东双曲拱桥以及世界第一拱桥——重庆朝天门长江大桥。这些风格迥异的拱形建筑共同组成了丰富多彩的建筑美学。

维也纳哥特式沃蒂夫教堂

而在拱形建筑中，杰出的代表便是哥特式建筑，它整体风格高耸削瘦，且带尖拱，表现了神秘、哀婉、崇高的强烈情感。而尖拱的最大特点是打破了半圆拱结构的高度与跨度比例为F/L=1/2的唯一关系，而是将F/L=n调整为一种可变量的动态关系。也就是说半圆拱必须是n=1/2，而尖拱的n则可以是任意的数值。正是由于尖拱的n可以为任意的数值，且在实际建造中一般情况下n都要大于等于1/2，所以这种独特的灵活性结构才成就了哥特式建筑风格的伟大复兴。

叠涩拱结构在人类早期的建筑建造中使用的较为普及。砖石、木材是建筑建造过程中常常使用的材料，而叠涩便是古人将这些建造材料从两侧四周层层堆叠外挑、缩进跨出形成拱形的一种砖石、木结构的建筑砌法。

叠涩拱技术在实际施工时，先要搭建临时的木制支撑用的拱形模框，而后使楔形砖石木等建材夹构在一起，形成建造所需要的拱形空间，最后待定型后再进行破拆移除。这种方法可以大大提高建造的使用跨度和维度，不光是可以建造各种围合和大跨度的建筑，甚至还发展成可以建造多种交叉的拱形穹顶建筑和桥梁，极大地丰富了当时的建筑形态，满足了人们的不同使用需求。

最为典型的叠涩拱技术建筑，便是位于爱尔兰东北部的纽格莱奇史前墓，至今已有超过5000年历史。纽格莱墓室有三个凹室的空间，三个凹室之间用大约18米的通道相连接，整个墓室空间由97块巨石作为基础来支撑，墓室的顶部空间则是覆盖了大约有20万吨重的石材，用来支撑以密封完整的叠涩拱顶技术进行搭建的墓室屋顶。

建筑学中的理性秩序

——数列

在人类的建筑发展历史上，楼梯作用于空间及空间形式关系的意义是非常关键的。作为建筑构件的一个重要环节，理性的秩序是楼梯中最显著的象征因素，在建筑建造过程中起到了至关重要的作用。

楼梯，是数列在建筑中最普遍的运用。假如楼房的每一个楼层（H）都为3.6米，每一层都有20级（即n=20），第一级与地面的高度为h1（即h1=160毫米），第二级与地面的高度为h2（即h2=320毫米）。第20级与地面的高度为h20（即h20=3600毫米），从h1到h20组成了n=20，公差=160毫米的等差数列，而踏步高度=公差=160毫米（即每一级的踏步高度都相等）。

爱尔兰妞格莱奇史的墓

另外，根據人机工程学原理分析，每个人的脚长度在220～260毫米之间，为了让人们走的更加舒适和安全，楼梯踏步宽度设计为290毫米是最合适的。而向上爬楼梯时，人们是要将脚抬高走路的，对于正常人来说，楼梯的坡度控制在30度左右是最适宜的，并且抬脚踏上高度为160毫米的楼梯不会感到吃力。同样的原理，楼梯的横向宽度也是要考虑到人们的肩宽尺寸距离。正常人的肩宽为400毫米左右，那么楼梯的双向宽度设定为1200毫米就可避免互相碰撞。而楼梯上楼时候的转角处（休息平台）则需要更加宽敞的空间，这里的宽度一般是楼梯宽度的1.1～1.2倍，相当于1400毫米。这些对于建筑构件楼梯的搭建逻辑思考而得出来的结论，其实就是建筑设计中数学计算的感知与运用的结果。

建筑学中的力量源泉——对称

古希腊哲学家毕达哥拉斯讲过：“美的线型和其他一切美的形体，都必须有对称形式”。“对称”被视为“和谐与美”的定义。它所表现出来的形式美法则是对于事物的等量等形的一种状态。对称利用直线将空间中心轴两边或者四边分为相等的样式，它们之间无论是距离还是质量都等同，都是基于一个建筑结构核心的布置，充分表达出建筑的力学传递与支撑原理的相互关系，这就是建筑与数学力学的艺术表现力的重要源泉。

数列在建筑中最普遍的运用——楼梯

“对称”之美是古今中外教堂、庙宇、宫殿、民居等各种建筑形式遵从的基本要求。在建筑中也常用对称及高度来表示宗教意涵或是政治权力，体现出无所替代的建筑与数学交织的美感。

在中国传统建筑中，对称的屋梁、对称的皇城以及对称的四合院都运用的非常普及。南北中轴、东西对称俨然已经成为中国自古以来在建筑地位构建思想中的精神尊崇，形成了四面围合的中正之美。这之间的建造布局隐喻着“尊卑有序，内外有别”的“礼”教文化的传统思想传承，影响着国人周到、平和、太平的性格特征。

对称建筑

对称的北京故宫角楼

同时，“对称”也是人们向往大自然生活的一种期盼和形式上的行为表现。在自然界中，无论是植物、动物，还是山水、天地都结成对称格局，这就是对于大自然的最有机的仿生理念思想，在这样的模仿中，人们得以与自然相得益彰、共生共存的感受到了生理和精神上的愉悦和陶冶。

建筑和数学都是不断发展的领域。人们在研究利用过去思想理论的同时也在创造新的思想理论。随着时代的发展，建筑结构形态发生了巨大的变化，但相同的是从古至今的建筑中所饱含的数学元素，让时代建筑散发出绚丽的艺术光辉。未来城市的发展，不仅仅依靠建筑艺术的装点，更离不开数学之美的点缀。