极值点偏移的判定方法和运用策略

汪 杰

(湖北省孝感市孝昌县第二高级中学 432900)

极值点偏移在高中数学的引入，能够更直观地解决所学的函数问题，为学生们提供更便捷的解题思路，让学生能够快速地解决相关的数学问题，有利于学生未来的数学学习.本文着手这一角度，对导数在求函数极值以及最值问题中的应用进行介绍.

一、函数极值概述

1.极值点偏移的判断定理

对于一个可导函数y=f(x)，在它的区间(a,b)之间只有一个极大值/极小值点x0，假设该方程的两个根是x1、x2，其中存在关系a

情况1：如果f(x1)x0或者是(x1+x2)/2

因为对于可导函数y=f(x)，在区间(a,b)上只有一个极大(小)值点x0，则函数y=f(x)的单调递增/单调递增区间为(a，x0)，单调递减/单调递增区间为(x0，b)，另外又因为存在a2x0-x2，即(x1+x2)/2>x0或者是(x1+x2)/2

情况2：如果f(x1)>f(2x0-x2)，那么(x1+x2)/2>x0或者是(x1+x2)/2

因为对于可导函数y=f(x)，在区间(a,b)上只有一个极大(小)值点x0，则函数y=f(x)的单调递增/单调递增区间为(a，x0)，单调递减/单调递增区间为(x0，b)，另外又因为存在ax0，所以结合f(x1)2x0-x2/x1<2x0-x2，即(x1+x2)/2x0，得出函数y=f(x)极小值/极大值点x0右偏/左偏.

2.求可导函数f(x)极值的步骤

第一步，确定函数定义区间，对函数进行求导.第二步，求出f′(x0)=0的根.第三步，根据函数导数为0的点来将函数定义域顺次划分为若干小开区间，并整理成表格，针对导数方程根两端的值符号进行判断，左正右负为极大值，左负右正为极小值，如果左右不改变符号，那么该函数在这个根处没有极值.

3.函数极值注意事项

(1)极极值的运用能够更快速地解决函数问题.但极值是一个局部的概念，仅针对所要解决的函数问题运用极值进行函数的区间判断，通过分析与计算明确函数的最大值和最小值，但并不能说明这点所对应的函数值在函数的整个定义域内就是最大的或者最小的；

(2)极值点偏移指的是对于单极值函数来说，因为它的函数极值点左右增减速度有所不同，所以函数图象就不具备一定的对称性.若函数的左右不改变符号，那么可以说函数在这个定义区间内没有极值.

二、运用判定定理判定极值点偏移的方法

1.求出函数y=f(x)的极值点x0；

2.构造一元函数F(x)=f(x0+x)-f(x0-x)；

3.确定函数F(x)的单调性与单调区间；

4.根据F(0)=0，判断F(x)的符号，进一步确定f(x0+x)、f(x0-x)的大小关系[3].

三、运用判定定理判定极值点偏移的运用策略

1.构造函数法

构造对称函数(主要适用于用判定定理2)判断极值点时

(1)求出函数f(x)的极值点x0；

(2)构造一元差函数F(x)=f(x0+x)-f(x0-x)；

(3)确定函数F(x)的单调性与单调区间；

(4)根据F(0)=0，判断F(x)的符号，进一步确定f(x0+x)、f(x0-x)的大小关系.

2.构造比较函数

(主要适用于用判定定理1或者定义)判断极值点时

(1)把x1+x2转化为t的函数；

(2)设t=x2/x1、t=ln(x2/x1)、t=x2-x1、t=ex2-x1等.

3.不等式放缩

极值点偏移的有关问题中，函数中如果存在ex、lnx的式子时，很难用到基本不等式，所以需要利用平均不等式或者是指数不等式，采用不等式放缩法求解.

在对数平均的定义中，设a=em，b=en，则有E(a，b)=(em-en)/(m-n)(m≠n)，且E(a，b)em-en(m=n)，根据对数平均不等式e(m+n)/2≤E(a，b)≤(em+en)/2，此不等式为指数不等式.

本文针对极值点偏移问题及运用策略分别展开详细阐述，总而言之，在高中数学教学过程中，教师需要让学生能够掌握利用极值点偏移思想来对函数进行求解，这样有利于学生对于函数极值问题在进行解题时更加准确和快速，而极值点偏移贯穿整个高中数学教学内容，当学生对于函数问题能够有更深层次地理解和应用，那么有利于整个高中数学知识内容的学习.