探秘立体几何的模型构建

2020-08-24 04:00
数理化解题研究 2020年22期
关键词:三视图动点圆锥

曾 敏

(江西省南昌市江西师范大学附属中学 330046)

模型构建的本质是根据题意进行数学建模,提升空间想象能力.常见的立体几何模型有长方体(正方体)模型、圆锥模型、球模型、圆柱模型等.用构建模型的方式来看待立几问题,总结典型的立体模型,有助于提高解题能力.

一、长方体(正方体)模型

类型1 “三视图”中的应用

例1某几何体的三视图如图1所示,三个视图中的正方形的边长均为6,俯视图中的两条曲线均为圆弧,则该几何体的体积为____.

模型反思大部分几何体可通过对正方体或长方体分割得到,所以将三视图问题放在正方体或长方体模型中研究,能够快速得到直观图.

类型2 “补形”中的应用

解析依题可知PA2+PC2=AC2,∴PA⊥PC.

又∵PB⊥平面PAC,∴以PA,PC,PB为长、宽、高,作长方体如图3所示.

则该长方体的外接球就是四面体P-ABC的外接球,

模型反思观察条件与模型之间的内在联系,利用补形的思想可巧妙构造长方体(正方体)模型.如:①三棱锥的三条侧棱两两垂直,等效于一个“墙角”,可将“墙角”补形构造正方体或长方体;②三棱锥的三组对棱分别相等,等效于一个长方体的三条面对角线,可将三棱锥补形构造正方体或长方体;③正四面体补形构造正方体.

二、圆锥模型

例3 已知矩形ABCD,AB=2,BC=x,将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中,则( ).

A.当x=1时,存在某个位置,使得AB⊥CD

C.当x=4时,存在某个位置,使得AB⊥CD

D.∀x>0时,都不存在某个位置,使得AB⊥CD

解析在翻折过程中,AB形成以BD所在直线为轴的圆锥侧面,作点A关于直线BD的对称点E,翻折过程中的垂直可转化为AB能与圆锥的一条母线垂直,结合模型知,最大张角是∠ABE,从而得∠ABE≥90°.即 ∠ABD≥45°.

模型反思翻折问题中,抓住共面的线性角不变的性质构建圆锥模型,借助模型量化计算,培养抽象思维与直观想象.

三、球模型

例4 已知四棱锥P-ABCD的底面为正方形ABCD,△PAD为等边三角形,且平面PAD⊥平面ABCD,空间一点M,满足PM⊥MC,则点M在底面ABCD上的轨迹是( ).

A.圆的一部分 B. 椭圆的一部分

C. 双曲线的一部分 D. 抛物线的一部分

解析如图5,空间一点M,满足PM⊥MC,则点M在以PC为直径的球面上.

又因为点M在底面ABCD上,所以点M的轨迹是球面与底面ABCD的公共部分,即交集为圆.故选A.

模型反思抓牢动点的轨迹符合球的结构特征(动点到定点的距离等于定值).

四、圆柱模型

例5 如图6,AB是平面α的斜线段,A为斜足,若点P在平面α内运动,使得△ABP的面积为定值,则动点P的轨迹是( ).

A.圆

B.椭圆

C.一条直线

D.两条平行直线

解析由已知可得动点P的轨迹在圆柱面上.由于AB是平面α的斜线段,所以平面α斜截圆柱面,得到的截面图形为椭圆.选B.

模型反思抓住动点的轨迹符合圆柱的结构特征(动点到定直线的距离为定值).

在探索立体几何的问题中,巧构立体模型,不但可以提升学生的思维起点,培养学生的空间想象能力,而且还能让学生发现数学美,体验数学美.

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