例谈分类讨论的依据

张蔡莉

(福建省石狮市第一中学 362700)

分类讨论贯穿于整个高中数学，对学生分析问题，解决问题的有很大的作用.高中数学分类讨论主要有两种类型：一，对参数进行讨论，求自变量的取值范围.二，给出某个结论，求参数的取值范围.学生思维能力不强, 经常分不清是否需要讨论，讨论的依据是什么，以及分几种情况进行讨论.

本文通过:第一,求出变量的临界值，即变量的分界点；第二，在数轴上按照分界点的大小，将变量的取值划分成不同区间；第三，按从小到大的顺序，在各个区间中依次进行讨论；第四，积零为整，适当归纳总结.做到分类标准统一，不重不漏.

一、由数学概念引起的讨论，如“圆锥曲线”,“绝对值”等

例1(2017全国课标Ⅰ卷)设函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|，

(1)当a=1时，求f(x)≥g(x)的解集；

(2)略.

分析由f(x)≥g(x)得,x2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0.根据绝对值的定义：被绝对值的数x+1，x-1需要和0比较大小，因此，在数轴上-1，1是自变量x的分界点，按照从小到大，分成x≤-1，-1

二、由数学运算引起的讨论,如“给定区间”，“某个新函数的定义域”等

例2(2014四川高考)已知函数f(x)=ex-ax2-bx-1，其中a,b∈R,e为自然对数的底数.

(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值；

(2)略.

(1)当a≤0时，在区间[0,1]内，g′(x)>0，故y=g(x)在[0,1]内递增，g(x)的最小值为g(0).

然后再积零为整，利用集合运算，归纳总结，从而求出函数在区间[0,1]上的最小值.

三、由图象的位置引起的讨论，如“一元二次函数”，“指数函数”，“对数函数”图象等

例3 已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)略.

(1)求b;

由上可见，不等式的讨论覆盖知识点多，范围广，难度大.但万变不离其宗,其核心思想还是抓住要求的变量，统一分类标准，找出分界点，在同级中划分区域逐步讨论，才能做到思路严谨,不缺不漏.