一类解三角形问题的多角度思考

杨苍洲

(福建省泉州第五中学 362000)

一、典例分析

图1

解析设BC=a，AC=b，AB=c.

1.向量法

2.算两次的方程思想

在△ABC中，a2=b2+c2-2bc·cos∠BAC，

3.结合平面几何的转化法

图2

延长AD到E，使得CE∥AB，则△DAB∽△DEC.

由余弦定理得

4.结合平面几何的转化法

图3

在AC上取点E使得DE∥AB.

二、解法揭示

试题结构在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c.问题中常涉及的量：

(1)角∠BAC；

(3)AD的长度；

(4)△ABC的面积或周长等.

解题方法：

法二：分别在△ABC，△ABD，△ACD中解三角形，注意到AD分别在△ACD、△ABD三角形内，∠BDA与∠CDA互补，BC=BD+DC等，应用算两次的方程思想，从而可得a,b,c,∠BAC的关系，再根据具体问题尽行转化；

法三：结合平面几何进行转化，先构造平行线，从而得到相似三角形，得到对应边成比例，再把已知的量集中在某个三角形内，解三角形得到a,b,c的关系，再根据具体问题尽行转化.

三、类题赏析

答案：D.

2.在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，且BD=1，则△ABC周长的最大值为( ).

答案：D.

图4

答案：B