渗透数学思想，提升数学教学实效

杨军华

[摘要]在数学学习过程中，让学生接触并感悟一些基本的数学思想，可以推升学生的学习层次和数学素养。在具体学习过程中，如何让学生感悟到数学思想的价值，促使学生掌握基本的数学思想和策略，成为摆在教师面前的难题。教师需要透过知识来授予方法，引导学生自己去感悟和提炼，并加以灵活运用，从而让学生熟悉数学思想。

[关键词]数学思想;数形结合;方程思想;整体思想

2011版数学课程标准提出了“四基”的概念，除了基本知识和技能之外，基本活动经验和基本数学思想也凸显出来，成为教学中必须要重视的部分。之所以将基本数学思想提到如此重要的高度，是因为在很多数学课堂中，教师的教学偏重于知识的传授和技能的训练，而忽视了学生的经历和感悟，导致学生的学习比较单一和枯燥，很难将内容接近的知识联系起来，难以自觉运用所学技能去解决新的问题。因此，在实际教学中，教师要重视学生对基本数学思想的领悟，要推动学生将基本的数学方法和数学思想内化成自己的东西，这样才能促进学生的深度数学学习。在教学过程中，教师可以从以下几方面着手。

一、迎合学生认知特点，渗透数形结合思想

对于小学生而言，直观思维比抽象思维的难度要低很多，所以在数学学习中，可以有意识地培养学生的数形结合能力，让学生体会到运用数形结合的方式可以让问题更清晰地呈现出来，从而找到解决问题的最佳方案，这符合小学生的认知特点。

例如在教学“稍复杂的分数问题”时，笔者提供给学生这样一个问题：“甲乙两个仓库共有70吨大米，如果从甲仓库运2/9给乙仓库，两个仓库的大米数量正好相等，那么甲乙两个仓库原来各有大米多少噸？”

学生在读题之后进行了独立思考，在交流过程中发现一部分学生的困惑在于找不出两个仓库的大米之间的关系，所以集体交流的时候，笔者引导学生画线段图来表示甲乙两个仓库的数量关系。因为从甲仓库运出了大米的2/9，所以甲仓库的大米为9份，运走2份之后还剩下7份，这时候与乙仓库的大米数量相等，说明乙仓库原来的大米份数为5。在线段图的帮助之下，学生清晰地认识了问题，找到了数量关系。还有学生提出，既然知道了两个仓库大米的份数分别是9份和5份，也可以用按比例分配来算出两个仓库的大米吨数各是多少。学生之所以发现了更简单便捷的方法，与线段图的帮助是分不开的。在数形结合的思想下弄清楚题目中的数量关系之后，解题就水到渠成了，还能促进学生对这类问题的新理解和新认识。

数形结合是重要的数学思想，在小学数学教学中出现了多次，比如一列相连的数求和时，可叫督所有数画成一个梯形来理解;在搭配的规律教学时，可以用连线的方法来探索规律的本质。在遇到这类问题的时候，教师要推动学生自己去感悟数形结合的作用，帮助学生形成数形结合的思想。

二、比较不同方法的优劣，渗透转化思想

转化同样是小学数学中一种重要的思想，在学生遇到新的问题时，很多时候可以运用转化的思想将未知的问题转化为已知的问题来解决，也可以将复杂的问题转化为简单的问题来解决，这样学生在解决问题的同时可以自觉形成转化的意识，体会到转化在解题中的实际作用。在实际教学中，教师还可以引导学生比较不同解题方法的优劣，让学生体会到转化思想的重要性，给转化思想添上浓墨重彩的一笔。

例如在教学“转化的策略”时，例2和例3都可以用多种方法来解决，在教学中教师要引导学生关注到解决问题的方法的多样化和优化，引领他们体会到思想转化的妙处。

比如教学例2（10支球队进行比赛，比赛采用单场淘汰制，直到决出冠军，一共需要进行多少场比赛？）的时候，有的学生运用除法计算的方法来找出一共需要多少场比赛，也有学生根据教材的提示，用点表示出10支球队，然后用连线的方法找出直到决出冠军一共需要多少场比赛。在组织集体交流的时候，教师引导学生换个角度思考：一场比赛淘汰几支球队，到决出冠军一共要淘汰多少支球队？在这个视角之下，学生发现只要转化思路，就可以用10减1算出需要比赛的场次。在引导学生比较各种方法的异同时，学生发现如果参加比赛球队数量变多，转化策略的优势将越来越明显地凸显出来。

在教学例3的时候，大部分学生在计算1/2+1/4+1/8+1/16+1/32的时候是用通分的办法来解决的，但是在教师提示可以用一个正方形来表示1，然后将这个加法算式中的所有加数表示出来之后，学生发现整个加法算式可以转化为1-1/32来解决。教学这道例题之后，教师再出示几道类似的问题，学生尝试画图，然后成功地将加法算式转化为减法算式计算。在此过程中，学生体会到转化的妙用，转化的思想不自觉地建立起来。

转化不仅是—种独特的解题策略，而且蕴含着转化的数学思想，这也是小学阶段经常可见的一种数学思想。在本案例的教学中，教师首先由具体的问题引领学生感悟转化思想的作用，通过比较方法的优劣来感知转化思想的价值，然后引导学生回顾转化思想在整个小学阶段出现的例子，有效提高了学生对于转化思想的认识，促进了学生的思想内化。

三、提供系列问题，渗透数学建模思想

数学建模对于小学生而言有一定的难度，但是一旦学生具备了数学建模的思想，他们的数学学习就可以从零散走向系统，从单一走向多元，这对于提升学生的数学核心素养和解决实际问题的能力有重要的帮助。从这个角度来看，在实际教学中教师可以为学生提供一系列的问题，让学生从中感悟到一类问题的共同点，抓住问题的核心来完成数学建模，并感悟到数学建模思想的作用，这对于学生的数学学习而言是有很大帮助的。

例如在教学“假设的策略”时，笔者首先出示例题：“同学们去公园划船，48名同学租了10条船正好坐满，已知大船每条坐6人，小船每条坐4人，那么他们租的大船和小船各多少条？”学生在独立尝试的时候想到了多种不同的方法，比如一一列举，也有学生用画图的方法来凑出48，在凑48人的时候，学生先画出10条船，在每条船上都画4个圆表示4人，然后算出比实际坐的人少8人，这样只要再在4条船上各添上两个圆就符合题意了。根据这个画图的过程，笔者引导学生用算式概括出画图凑48的过程，并反复说每一个算式的含义，这样对照图示，学生很快掌握了假设的思路。

解决这个问题之后，笔者出示了“鸡兔同笼”的问题给学生，很快有学生发现“鸡兔同笼”的问题跟刚才的问题是相似的，鸡相当于题中的小船，兔相当于题中的大船，鸡和兔的头相当于题中的10条船，脚的只数相当于题中的48人。当学生有了这样的认识之后，他们的数学模型其实已经建立了起来，遇到类似问题的时候，学生立即能调用之前的假设策略来解决。

有些时候教师布置大量机械重复的作业的初衷就是促进学生的数学建模，但是相对于引领学生感悟到数学建模思想而言，模仿的功效有限。实际教学中教师应当用题组来促进学生的观察、比较和归类，帮助学生形成数学建模的思想。就像案例中这样，教师提供相近的问题来引导学生比较，促进学生的数学建模，在适当的时候也可叫督一些变型的问题提供给学生，丰富他们的数学模型，强化学生对一类问题的认识，拓宽学生的数学视野，这对于学生的数学学习而言是有益的。

四、关注思维发展，渗透整体思想

建立基本的数学思想有利于学生的数学学习，有利于学生的思维发展。在小学数学教学中，教师应当为学生的整体思想孕育萌芽，让学生形成整体思维的意识，增强学生思维的灵活性。

例如在教学“梯形的面积”时，笔者给学生提出了这样一个问题：“王大爺用栅栏一面靠墙围成了一个梯形的花圃（如图1），已知栅栏的总长度是19米，梯形的高是6米，求梯形的面积。”不少学生在独立尝试时纠结于无法找到梯形的上底和下底是多少米。在随后的交流中，成功解决了问题的学生说出，了用19减去6米得到梯形的上下底之和13米，然后用“13×6÷2”的思路，顿时拨开了学生的疑云，让他们体会到将梯形的上底和下底看成一个整体的重要性。

而在“圆的面积”教学中，笔者给学生提出这样一个问题：“一个正方形的面积是48平方厘米，在这个正方形中画一个最大的圆，圆的面积是多少平方厘米？”很多学生在分析这个问题的时候知道圆的直径等于正方形的边长，但是题中给出的条件是正方形的面积是48平方厘米，他们无法根据正方形的面积来求出正方形的边长。在交流这个问题的时候，笔者引导学生从圆的面积计算方法入手来思考。结合画图，学生发现虽然这个问题无法找到圆的直径（半径）是多少，但是只要将正方形平均分成4个小正方形，其中一个小正方形的边长就是圆的半径，也就是说只要用48除以4就可以得到圆的半径的平方是多少。这样的发现让学生对圆的面积计算有了新的认识，同时增强了学生的整体意识。

当然，在小学数学教学中运用整体思想来解决问题的案例绝不止这些，在实际教学中我们要利用典型问题来引导学生自己去感悟用整体思想解题的好处，要帮助学生建立整体的视角，从而提升学生的数学思维能力。

总之，数学思想作为教学环节中不可或缺的部分，需要得到教师的重视，需要在日常教学中做好引导，让学生接触更多的数学思想并感悟数学思想的妙用，从而提升学生对数学思想的认识，推动学生的深度数学学习。